Análise complexa
A análise complexa, também conhecida como a teoria das funções de variável complexa, é o ramo da matemática que investiga as funções de números complexos. Ela é útil em muitas áreas da matemática, incluindo geometria algébrica, teoria dos números, análise combinatória e matemática aplicada; além disso, ela é amplamente utilizada em vários ramos da física, como hidrodinâmica, termodinâmica e, em particular, mecânica quântica. Por consequência, o escopo teórico da análise complexa também possui aplicações nas várias divisões da engenharia, como nas engenharias nuclear, aeroespacial, mecânica e elétrica.
Imagem: Biblioteca Digital Curt Nimuendajú · BY-NC-SA · Openverse
A teoria das funções de variável complexa tem como um de seus principais objetivos a extensão do cálculo diferencial e integral para o domínio dos números complexos. Seja A um conjunto de números complexos. Se z {\displaystyle z} denota qualquer um dos números do conjunto A, então z {\displaystyle z} é denominado uma variável complexa. Se existe uma correspondência entre os valores da variável complexa z {\displaystyle z} para com uma outra variável complexa w {\displaystyle w} para cada valor possível de z {\displaystyle z} (elementos do conjunto A), então w {\displaystyle w} é uma função da variável complexa z no conjunto A e isto é denotado como w = f ( z ) . {\displaystyle w=f(z).} O conjunto A é usualmente algum domínio, chamado domínio de definição da função w . {\displaystyle w.} Como todo número complexo pode ser escrito na forma z = a + b i , {\displaystyle z=a+bi,} em que a = R ( z ) , b = I m ( z ) {\displaystyle a=R(z),b=Im(z)} indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a função complexa w = f ( z ) {\displaystyle w=f(z)} na forma f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) . {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y).} Como nas funções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:
Limites de funções complexas
Seja f (z) uma função complexa definida nas vizinhanças do ponto z0, sendo possivelmente não definida no próprio ponto z0. De forma análoga ao caso real, define-se o limite L dessa função quando a variável z tende ao ponto z0 como sendo o valor da qual ela se aproxima (caso este exista) conforme z fica arbitrariamente próximo de z0. Em linguagem matemática formal, diz-se que se, para cada número ε > 0 existe um outro número δ > 0 com a propriedade de que a desigualdade | f (z) - L | < ε é válida para todos os valores de z tais que | z - z0 | < δ e z ≠ z0. Nessa definição, as barras || representam o módulo de um número complexo, definido como |z| = √x2 + y2 para z = x + yi, em que x e y são as partes real e complexa de z, respectivamente. Uma notação alternativa também utilizada para denotar um limite é f ( z ) → L {\displaystyle f(z)\to L} para z → z 0 {\displaystyle z\to z_{0}} .
Derivada de uma função complexa
Tomemos, à semelhança das funções reais, o limite lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z = f ′ ( z 0 ) = d f d z ( z 0 ) , {\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})={\frac {df}{dz}}(z_{0}),} denominado "derivada" da função f {\displaystyle f} em relação a z {\displaystyle z} no ponto z 0 . {\displaystyle z_{0}.} Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de ser contínua em um ponto para que seja diferenciável neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.
Imagem: Fronteiras do Pensamento · BY-SA · Openverse
Suponha que a função f seja derivável em z 0 , {\displaystyle z_{0},} em que z 0 = x 0 + i y 0 : {\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}:} f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)} f ′ ( z ) = a + i b {\displaystyle f'(z)=a+ib} Δ f = f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) {\displaystyle \Delta f=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})} Δ u = u ( x 0 + Δ x , y o + Δ y ) − u ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle \Delta u=u(x_{0}+\Delta x,y_{o}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})} e Δ v , {\displaystyle \Delta v,} para a mudança correspondente em v(x,y). Então lim Δ z → 0 Δ f Δ z = lim Δ z → 0 Δ u + i Δ v Δ x + i Δ y = a + i b {\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}=a+ib} lim Δ x → 0 , Δ y → 0 Re ( Δ u + i Δ v Δ x + i Δ y ) = a {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\text{Re}}\left({\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}\right)=a}
