Área
Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.
Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo uma função a de uma coleção M de figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades: Pode ser demonstrado que existe uma tal função área.
Cada unidade de comprimento tem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado esse comprimento. Desta forma, as áreas podem ser medidas em metros quadrados (²), centímetros quadrados (cm²), milímetros quadrados (mm²), quilómetros quadrados (km²), pés quadrados (ft²), jardas quadradas (yd²), milhas quadradas (mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados das unidades de comprimento correspondentes. A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado uma unidade derivada de SI.
Conversões
A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que sendo 144 = 12² = 12 × 12. Da forma análoga:
Outras unidades
Existem várias outras unidades usadas para áreas. O are foi a unidade de medida original do sistema métrico para a área: Embora o are tenha caído em desuso, o hectare ainda é muito usado para medir terrenos e propriedades: Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem a tétrade, hectade e miríade. O acre também é muito usado na medição da área de terrenos, sendo: Um acre é aproximadamente 40% de um hectare.
Acredita-se que as necessidades cotidianas, tais como as divisões de terra para o plantio às margens dos rios, a construção de residências, assim como os estudos relativos aos movimentos dos astros inserem-se no contexto de atividades ligadas à geometria e desenvolvidas pelos seres humanos ao longo da evolução humana. Dentre os principais matemáticos da antiguidade responsáveis pelo desenvolvimento da geometria destacam-se Tales de Mileto (VI a.C.), na Grécia, importando a geometria utilizada pelos egípcios; Pitágoras, conhecido pelo teorema aplicado ao triângulo retângulo que recebeu o seu nome e aperfeiçoou o conceito de demonstração matemática da época. E, ainda nesse século, "os Elementos” de Euclides trouxeram inovações consistentes quanto aos métodos utilizados na antiguidade e que vêm contribuindo há mais de 20 séculos para o desenvolvimento das ciências, baseando-se em três conceitos básicos, tais como ponto, reta e círculo, como também nos cinco postulados. É um sistema axiomático que surge de conceitos e proposições aceitos sem demonstração, conhecidos como, postulados e axiomas.
Retângulo
A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do retângulo Dado um retângulo com base l e altura w, a sua área é: Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo l o comprimento do seu lado, a sua área é: A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma definição ou axioma. Tendo a geometria sido desenvolvida antes da aritmética, o conceito de área pode ser usado para definir a multiplicação de números reais.
Fórmulas por dissecção
A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da dissecção. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original. Por exemplo, um paralelogramo pode ser dividido num trapezoide e num triângulo retângulo, como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezoide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo: O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:
Círculo
A área de um círculo também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com raio r {\displaystyle r} é possível dividi-lo em setores. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é r {\displaystyle r} e a largura é metade da circunferência do círculo, ou seja, π r . {\displaystyle \pi r.} Resulta que a área do círculo é r × π r , {\displaystyle r\times \pi r,} ou seja, π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} A = π × r 2 {\displaystyle A=\pi \times r^{2}} (área do círculo; r = raio) Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez menor à medida que usamos setores cada vez menores.
Área de uma superfície
A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de um cilindro pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um cone pode ser cortada e endireitada num setor de um círculo, para permitir o cálculo da sua área. O cálculo da área da superfície de uma esfera é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com curvatura gaussiana diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foi Arquimedes na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro. Provou que a área e volume da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do cálculo.
Pode-se operacionalizar as áreas de algumas figuras planas e utilizá-las em algumas aplicações úteis. Evidentemente, associa-se área de uma figura plana a um número positivo, o qual expressa o espaço do plano ocupado por ela.
Notação
Usa-se a escrita ( A B C . . . N ) {\displaystyle (ABC...N)} para indicar a área de um polígono de N {\displaystyle N} vértices. Vale lembrar que em qualquer polígono o número de vértices é igual ao número de lados.
Área de um triângulo
Dois triângulos de mesma base e mesma altura têm áreas iguais. Demonstração: Dadas duas retas paralelas r {\displaystyle r} e s {\displaystyle s} , a uma distância d {\displaystyle d} , marcamos sobre a reta r {\displaystyle r} , os pontos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} , e sobre a reta s {\displaystyle s} , marcamos os pontos, C {\displaystyle C} e C ′ {\displaystyle C^{\prime }} , conforme figura abaixo. Essa é uma consequência do corolário: Sejam A B C {\displaystyle ABC} e A B C ′ {\displaystyle ABC^{\prime }} triângulos tais que A B / / C C ′ {\displaystyle AB//CC^{\prime }} . Então ( A B C ) = ( A B C ′ ) {\displaystyle (ABC)=(ABC^{\prime })} .
Área de um trapézio
No trapézio A B C D {\displaystyle ABCD} de altura h {\displaystyle h} , temos os lados paralelos A B {\displaystyle AB} e D C {\displaystyle DC} , tal que A B = a {\displaystyle AB=a} e D C = b {\displaystyle DC=b} . Demonstração: Vamos supor, sem perda de generalidade, que A B > D C {\displaystyle AB>DC} , e traçar pelo vértice B {\displaystyle B} um segmento paralelo ao lado A D {\displaystyle AD} de forma que intercepte o lado D C {\displaystyle DC} no ponto E {\displaystyle E} . Assim, como A B / / D C {\displaystyle AB//DC} e A D / / B E {\displaystyle AD//BE} , temos o paralelogramo A B E D {\displaystyle ABED} de altura h {\displaystyle h} e base D E = A B = a {\displaystyle DE=AB=a} , e temos ainda um triângulo B C E {\displaystyle BCE} de base E C = D C − D E = b − a {\displaystyle EC=DC-DE=b-a} , e altura h {\displaystyle h} .
Área de um losango
De acordo com o corolário: Se ABCD é um losango de diagonais AC e BD, então ( A B C D ) = 1 2 A B C D {\displaystyle (ABCD)={\frac {1}{2}}ABCD} . Demonstração: Dado o losango A B C D {\displaystyle ABCD} , cujas diagonais interceptam-se no ponto M {\displaystyle M} , simultâneamente, ponto médio de ambas as diagonais A C {\displaystyle AC} e B D {\displaystyle BD} . Como A B = B C = C D = D A {\displaystyle AB=BC=CD=DA} , os triângulos determinados pelas diagonais A C {\displaystyle AC} e B D {\displaystyle BD} , são isósceles e como M {\displaystyle M} é ponto médio destas diagonais, temos que, A M = M C {\displaystyle AM=MC} , B M = M D {\displaystyle BM=MD} , portanto os triângulos A B D {\displaystyle ABD} e B C D {\displaystyle BCD} são congruentes pelo caso LAL, assim como os triângulos A D C {\displaystyle ADC} e A B C {\displaystyle ABC} , pelo mesmo caso.
