ARIMA

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Dada uma série temporal de dados X t {\displaystyle X_{t}} , em que t {\displaystyle t} é um índice representado por um número inteiro e X t {\displaystyle X_{t}} são números reais, um modelo ARMA( p , q {\displaystyle p,q} ) é dado por: X t − α 1 X t − 1 − . . . − α p ′ X t − p ′ = ε t + θ 1 ε t − 1 + . . . + θ q ε t − q , {\displaystyle X_{t}-\alpha _{1}X_{t-1}-...-\alpha _{p'}X_{t-p'}=\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+...+\theta _{q}\varepsilon _{t-q},} ( 1 − ∑ i = 1 p ′ α i L i ) X t = ( 1 + ∑ i = 1 q θ i L i ) ε t , {\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t},} em que L {\displaystyle L} é operador de defasagem, α i {\displaystyle \alpha _{i}} são os parâmetros da parte auto-regressiva do modelo, θ i {\displaystyle \theta _{i}} são os parâmetros da parte de média móvel e ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} são os termos de erro. Os termos de erro ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} são geralmente assumidos como variáveis independentes e identicamente distribuídas amostradas a partir de uma distribuição normal com média zero. Assuma agora que o polinômio ( 1 − ∑ i = 1 p ′ α i L i ) {\displaystyle \textstyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)} tem uma raiz unitária (um fator ( 1 − L ) {\displaystyle (1-L)} ) de multiplicidade d {\displaystyle d} . Então, isto pode ser rescrito como:

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A identificação explícita da fatoração do polinômio de auto-regressão em fatores como descrita acima pode ser estendida a outros casos, primeiramente para aplicar ao polinômio de média móvel e, em segundo lugar, para incluir outros fatores especiais. Por exemplo, ter um fator ( 1 − L s ) {\displaystyle (1-L^{s})} em um modelo é uma forma de incluir uma sazonalidade não estacionária do período s {\displaystyle s} no modelo. Este fator tem o efeito de reexpressar os dados como mudanças a partir de s {\displaystyle s} períodos atrás. Outro exemplo é o fator ( 1 − 3 L + L 2 ) {\displaystyle \left(1-{\sqrt {3}}L+L^{2}\right)} , que inclui uma sazonalidade não estacionária de período igual a 2. O efeito do primeiro tipo de fator é permitir ao valor de cada temporada derivar separadamente ao longo tempo, enquanto os valores do segundo tipo para temporadas adjacentes se movem juntos. A identificação e a especificação de fatores apropriados em um modelo ARIMA podem ser passos importantes na modelagem, já que permitem uma redução no número geral de parâmetros a serem estimados, enquanto autorizam a imposição de tipos de comportamento sugeridos pela lógica e pela experiência sobre o modelo.

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A diferenciação em estatística é uma transformação aplicada aos dados de uma série temporal a fim de tornar esta série estacionária. As propriedades de uma série temporal estacionária não dependem do tempo em que a série é observada. A fim de diferenciar os dados, a diferença entre observações consecutivas é computada. Matematicamente, isto é mostrado como: y t ′ = y t − y t − 1 . {\displaystyle y_{t}'=y_{t}-y_{t-1}.} A diferenciação remove as mudanças no nível de uma série temporal, eliminando tendência e sazonalidade e consequentemente estabilizando a média da série temporal. Pode ser necessário às vezes diferenciar os dados uma segunda vez para obter uma série temporal estacionária, processo referido como diferenciação de segunda ordem: y t ∗ = y t ′ − y t − 1 ′ = ( y t − y t − 1 ) − ( y t − 1 − y t − 2 ) = y t − 2 y t − 1 + y t − 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}y_{t}^{*}&=y_{t}'-y_{t-1}'\\&=(y_{t}-y_{t-1})-(y_{t-1}-y_{t-2})\\&=y_{t}-2y_{t-1}+y_{t-2}.\end{aligned}}}

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Alguns casos especiais bem conhecidos surgem naturalmente ou são matematicamente equivalentes a outros modelos de previsão populares. Por exemplo:

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Para determinar a ordem de um modelo ARIMA não sazonal, um critério útil é o critério de informação de Akaike (AIC). É escrito como: AIC = − 2 log ⁡ ( L ) + 2 ( p + q + k + 1 ) , {\displaystyle {\text{AIC}}=-2\log(L)+2(p+q+k+1),} em que L {\displaystyle L} é verossimilhança dos dados, p {\displaystyle p} é a ordem da parte auto-regressiva e q {\displaystyle q} é a ordem da parte de média móvel. O parâmetro k {\displaystyle k} neste critério é definido como o número de parâmetros no modelo sendo ajustado aos dados. Para o AIC, se k = 1 {\displaystyle k=1} , então c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} , e se k = 0 {\displaystyle k=0} , então c = 0 {\displaystyle c=0} . O AIC corrigido para modelos ARIMA pode ser escrito como: A I C c = A I C + ( 2 ( p + q + k + 1 ) ( p + q + k + 2 ) ) / ( T − p − q − k − 2 ) . {\displaystyle AICc=AIC+(2(p+q+k+1)(p+q+k+2))/(T-p-q-k-2).} O critério de informação bayesiano (BIC) pode ser escrito como:

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O modelo ARIMA pode ser visto como uma "cascata" de dois modelos. O primeiro é não estacionário: Y t = ( 1 − L ) d X t , {\displaystyle Y_{t}=(1-L)^{d}X_{t},} enquanto o segundo é estacionário em sentido amplo: ( 1 − ∑ i = 1 p ϕ i L i ) Y t = ( 1 + ∑ i = 1 q θ i L i ) ε t . {\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}L^{i}\right)Y_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}.} Agora, previsões podem ser feitas para o processo Y t {\displaystyle Y_{t}} , usando uma generalização do método de previsão auto-regressiva.

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Uma quantidade de variações sobre o modelo ARIMA é comumente empregada. Se séries temporais múltiplas forem usadas, então, X t {\displaystyle X_{t}} podem ser pensados como vetores e um modelo auto-regressivo integrado de médias móveis vetorial (VARIMA). Algumas vezes, suspeita-se de um efeito sazonal no modelo. Neste caso, geralmente é melhor usar um modelo auto-regressivo integrado de médias móveis sazonal (SARIMA) do que aumentar a ordem das partes AR ou MA do modelo. Se se suspeitar que a série temporal exibe dependência de longo intervalo, então, pode-se permitir ao parâmetro d {\displaystyle d} ter valores não inteiros em um modelo auto-regressivo fracionariamente integrado de médias móveis, que também é chamado de modelo ARIMA fracionário (FARIMA ou ARFIMA).