Campo vetorial
Em matemática um campo vetorial ou campo de vetores é uma construção em cálculo vetorial que associa um vetor a todo o ponto de uma variedade diferenciável. Isto é, um campo de vetores é uma função vetorial que associa um vetor a cada ponto P(x,y,z) do espaço xyz, genericamente dada por:
Um campo vetorial de um subconjunto do espaço euclidiano X ⊂ R n {\textstyle X\subset \mathbb {R} ^{n}} é uma função com valores vetoriais tais que F : X → R n . {\displaystyle \mathbf {F} :X\rightarrow \mathbb {R} ^{n}.} Diz-se que F é um campo vetorial C k {\textstyle C^{k}} se cada componente é k vezes continuamente diferenciável. Um campo vetorial pode ser visualizado como um espaço X com um vetor n-dimensional associado a cada ponto em X. Embora as representações envolvam pontos discretos, campos vetoriais são formados por um número infinito de vetores.
Exemplo de um Campo de Força
Seja uma partícula A de massa M fixa em um ponto P 0 {\textstyle P_{0}} e seja uma partícula B de massa m livre para ocupar várias posições P no espaço. A atrai B de acordo com a lei da gravitação universal de Newton. A força gravitacional F age de P para P 0 {\textstyle P_{0}} , com módulo tal que | F | = G M m r 2 , {\displaystyle |\mathbf {F} |={\frac {GMm}{r^{2}}},} onde G é a constante gravitacional universal. Pensando num sistema de coordenadas em que P e P 0 {\textstyle P_{0}} possuam as coordenadas P(x,y,z) e P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\textstyle P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})} , , então a distância entre esses pontos é dada por r = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 {\displaystyle r={\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}}
Campo Conservativo
O campo vetorial F → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {F} }}} é dito conservativo se Onde P é uma função potencial. Matematicamente o campo conservativo pode ser representado, em coordenadas cartesianas, por: F = ∂ P ∂ x i + ∂ P ∂ y j + ∂ P ∂ z k . {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\partial P}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial P}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial P}{\partial z}}\mathbf {k} .} Outras formas de afirmar que um campo é conservativo são: - Se o valor da integral de linha depender somente dos pontos extremos e não do caminho que os liga. - Se a integral de caminho fechado for igual a zero.
Campo Central
Campos centrais são campos com origem em potenciais P que apenas dependem da distância, isso é: sendo r = ( x ) 2 + ( y ) 2 + ( z ) 2 {\displaystyle r={\sqrt {(x)^{2}+(y)^{2}+(z)^{2}}}}
Campo de Spin
Campos de spin se distribuem tangencialmente à circunferências de raios crescentes. Fluidos em movimento como um líquido derramado em um funil ou certos ciclones podem ser modelados por esse campo vetorial. Este tipo de campo serve também para descrever sistemas físicos em rotação. Por exemplo, da mecânica de rotação, tem-se que a velocidade linear de um corpo em rotação é v → = ω → × r → = | i → j → k → 0 0 ω 0 x y z | {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\0&0&\omega _{0}\\x&y&z\end{vmatrix}}} v → = ω 0 ( − y i → + x j → ) {\displaystyle {\vec {v}}=\omega _{0}(-y{\vec {i}}+x{\vec {j}})}
Campos Inverso-do-Quadrado
Campos ditos Inverso-do-Quadrado são aqueles campos vetoriais da forma F ( r ) = c | r | 2 r {\displaystyle \mathbf {F(r)} ={\frac {c}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {r} } onde r é um vetor posição, no espaço bidimensional ou tridimensional: e c uma constante característica do campo em questão. Alternativamente, podemos expressar estes tipos de campos vetoriais da seguinte maneira: F ( r ) = c | r | 3 r ^ {\displaystyle \mathbf {F(r)} ={\frac {c}{|\mathbf {r} |^{3}}}{\hat {r}}} com a introdução do versor posição, r ^ {\displaystyle {\hat {r}}} : r ^ = r | r | {\displaystyle {\hat {r}}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}} Tais campos possuem caráter radial e a magnitude dos mesmos diminui com o quadrado da distância, pois :
Integral de Linha
Uma técnica comum em física é integrar o campo vetorial ao longo de uma curva, sendo isto denominado como integral de linha. A integral de linha é construída analogamente à integral de Riemann e existe se o campo vetorial é contínuo. Dado um campo vetorial W e a curva S parametrizada no intervalo [a,b], onde a e b são reais, a integral de linha é definida como ∫ S ⟨ W ( x ) , d x ⟩ = ∫ a b ⟨ W ( S ( t ) ) , S ′ ( t ) d t ⟩ . {\displaystyle \int _{S}\langle W(x),\mathrm {d} x\rangle =\int _{a}^{b}\langle W(S(t)),S'(t)\;\mathrm {d} t\rangle .}
Del
O operador del é análogo ao operador de derivada d/dx, que aplicado a f(x) produz a derivada f'(x). Quando aplicado à campos vetoriais o operador del leva à duas operações essenciais, o divergente e o rotacional. Quando aplicado duas vezes tem-se o laplaciano vetorial, onde cada componente deste representa o divergente do gradiente do componente respectivo do campo vetorial argumento. O operador Nabla é definido, em coordenadas retangulares, como: ∇ = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k . {\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial z}}\mathbf {k} .} Este operador pode ser aplicado em campos escalares e em campos vetoriais.
