Circunferência
Na geometria, uma circunferência, por vezes chamada de círculo, é o conjunto dos pontos num plano numa dada distância de um dado ponto, o centro.
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Todas as regiões especificadas podem ser consideradas como abertas, ou seja, não contendo seus limites, ou como fechadas, incluindo seus respectivos limites.
Os povos pré-históricos fizeram círculos de pedra e círculos de madeira, e elementos circulares são comuns em petróglifos e pinturas rupestres. Os artefatos pré-históricos em forma de disco incluem o Disco de Nebra e os discos de jade chamados Bi. O papiro egípcio de Rhind, datado de 1700 a.C., apresenta um método para encontrar a área de um círculo. O resultado corresponde a .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}256/81 (3,16049...) como um valor aproximado de π {\displaystyle \pi } .
Simbolismo e uso religioso
Desde os tempos das primeiras civilizações conhecidas - como os assírios e os egípcios antigos, os do Vale do Indo e ao longo do Rio Amarelo na China, e as civilizações ocidentais da Grécia e Roma antigas durante a Antiguidade Clássica - a circunferência tem sido usado direta ou indiretamente na arte visual para transmitir a mensagem do artista e expressar determinadas ideias. No entanto, as diferenças de visão de mundo (crenças e cultura) tiveram um grande impacto sobre as percepções dos artistas. Enquanto alguns enfatizaram o perímetro da circunferência para demonstrar sua manifestação democrática, outros se concentraram em seu centro para simbolizar o conceito de unidade cósmica. Nas doutrinas místicas, a circunferência simboliza principalmente a natureza infinita e cíclica da existência, mas nas tradições religiosas ele representa corpos celestes e espíritos divinos.
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Considere-se uma sucessão de polígonos regulares inscritos na circunferência. A área de cada um desses polígonos é dada por S = p ⋅ a {\displaystyle S=p\cdot a} , onde p {\displaystyle p} é o semiperímetro do polígono e a {\displaystyle a} é o seu apótema. À medida que o número de lados do polígono aumenta, p {\displaystyle p} converge para a metade do comprimento da circunferência ( π R {\displaystyle \pi R} ) e a {\displaystyle a} converge para o raio ( R {\displaystyle R} ). Assim S {\displaystyle S} converge para π R ⋅ R = π R 2 {\displaystyle \pi R\cdot R=\pi R^{2}} . Por outro lado, à medida que o número de lados do polígono cresce, a sua área converge para a área do círculo. Conclui-se assim que a área do círculo é π R 2 {\displaystyle \pi R^{2}} .
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Para calcular a área de um círculo, basta que calculemos a área abaixo do gráfico de uma semicircunferência e dobremo-la. Portanto, basta calcular a integral definida: uma circunferência em R 2 : {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}:}
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Em geometria analítica é possível descrever a circunferência como o lugar geométrico de todos os pontos que estão a uma distância igual a um valor r {\displaystyle r} (chamado de raio) de um ponto C {\displaystyle C} fixo (chamado de centro ou origem). Numericamente pode-se descrever a circunferência pela seguinte equação: ( x − x c ) 2 + ( y − y c ) 2 = r 2 {\displaystyle \left(x-x_{c}\right)^{2}+\left(y-y_{c}\right)^{2}=r^{2}} Onde x c {\displaystyle x_{c}} e y c {\displaystyle y_{c}} são as coordenadas do centro C {\displaystyle C} e r {\displaystyle r} o raio do circulo.[carece de fonte melhor]
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Comprimento da circunferência
A razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é π, uma constante irracional aproximadamente igual a 3,141592654. Assim, o comprimento C está relacionada ao raio r e ao diâmetro d por: O = 2 π r = π d . {\displaystyle O=2\pi r=\pi d.}
Área
Conforme demonstrado por Arquimedes, em sua obra A Medida do Círculo [en], a área delimitada por um círculo é igual à de um triângulo cuja base tem o comprimento da circunferência do círculo e cuja altura é igual ao raio do círculo, o que resulta em π multiplicado pelo raio ao quadrado: A r e a = π r 2 . {\displaystyle \mathrm {Area} =\pi r^{2}.} De forma equivalente, denotando o diâmetro por d, A r e a = π d 2 4 ≈ 0.7854 d 2 , {\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0.7854d^{2},} ou seja, aproximadamente 79% do quadrado circunscrito (cujo lado é de comprimento d). A circunferência é a curva plana que abrange a área máxima para um determinado comprimento de arco. Isso relaciona o círculo a um problema no cálculo de variações, a saber, a desigualdade isoperimétrica.
Equações
Em um Sistema de coordenadas cartesiano x , y {\displaystyle x,y} , a circunferência com coordenadas de centro ( a , b {\displaystyle a,b} ) e raio r {\displaystyle r} é o conjunto de todos os pontos ( x , y {\displaystyle x,y} ) de modo que ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 . {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.} Essa equação, conhecida como equação da circunferência, decorre do teorema de Pitágoras aplicado a qualquer ponto da circunferência: conforme mostrado no diagrama ao lado, o raio é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos outros lados têm comprimento | x − a | {\displaystyle |x-a|} e | y − b | {\displaystyle |y-b|} . Se a circunferência estiver centrado na origem ( 0 , 0 {\displaystyle 0,0} ), então a equação se simplifica para x 2 + y 2 = r 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.} Forma paramétrica A equação pode ser escrita na forma paramétrica usando as funções trigonométricas seno e cosseno como x = a + r cos t , y = b + r sen t , {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r\,\cos t,\\y&=b+r\,\operatorname {sen} t,\end{aligned}}} em que t é uma variável paramétrica no intervalo de 0 {\displaystyle 0} a 2 π {\displaystyle 2\pi } , interpretada geometricamente como o ângulo que o raio de ( a , b {\displaystyle a,b} ) a ( x , y {\displaystyle x,y} ) faz com o eixo x {\displaystyle x} positivo.
Linhas tangentes
A linha tangente que passa por um ponto P {\displaystyle P} na circunferência é perpendicular ao diâmetro que passa por P {\displaystyle P} . Se P = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P=(x_{1},y_{1})} e a circunferência tem centro ( a , b {\displaystyle a,b} ) e raio r {\displaystyle r} , então a linha tangente é perpendicular à linha de ( a , b {\displaystyle a,b} ) a ( x 1 , y 1 {\displaystyle x_{1},y_{1}} ), de modo que tem a forma ( x 1 − a ) x + ( y 1 − b ) y = c {\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=c} . A avaliação em ( x 1 , y 1 {\displaystyle x_{1},y_{1}} ) determina o valor de c {\displaystyle c} , e o resultado é que a equação da tangente é
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Em coordenadas cartesianas, é possível fornecer fórmulas explícitas para as coordenadas do centro da circunferência e do raio em termos das coordenadas dos três pontos dados. Consulte circunferência circunscrita.
Ângulos inscritos
Um ângulo inscrito (exemplos são os ângulos azul e verde na figura) é exatamente a metade do ângulo central correspondente (vermelho). Portanto, todos os ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco (rosa) são iguais. Os ângulos inscritos no arco (marrom) são suplementares. Em particular, todo ângulo inscrito que subtende um diâmetro é um ângulo reto (já que o ângulo central é 180°).
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Há muitas construções de compasso e régua que resultam em circunferência. A mais simples e mais básica é a construção em que se dá o centro da circunferência e um ponto na circunferência. Coloque a perna fixa do compasso no ponto central, a perna móvel no ponto da circunferência e gire o compasso.
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Apolônio de Perga mostrou que uma circunferência também pode ser definido como o conjunto de pontos em um plano com uma razão constante (diferente de 1) de distâncias para dois focos fixos, A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} . O conjunto de pontos em que as distâncias são iguais é a bissetriz perpendicular do segmento A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} , uma linha. Às vezes, diz-se que essa circunferência é desenhado em torno de dois pontos. A prova está dividida em duas partes. Primeiro, é preciso provar que, dados dois focos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} e uma razão de distâncias, qualquer ponto P {\displaystyle P} que satisfaça a razão de distâncias deve cair em uma circunferência específica. Seja C {\displaystyle C} outro ponto, também satisfazendo a razão e situado no segmento A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} . Pelo teorema da bissetriz do ângulo, o segmento de reta P C ¯ {\displaystyle {\overline {PC}}} dividirá o ângulo interno A P B ^ {\displaystyle {\widehat {APB}}} , já que os segmentos são semelhantes:
Razões cruzadas
Uma propriedade das circunferências intimamente relacionada envolve a geometria da razão cruzada de pontos no plano complexo. Se A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} forem como acima, então a circunferência de Apolônio para esses três pontos é o conjunto de pontos P {\displaystyle P} para os quais o valor absoluto da razão cruzada é igual a um: | [ A , B ; C , P ] | = 1. {\displaystyle {\bigl |}[A,B;C,P]{\bigr |}=1.} Em outras palavras, P {\displaystyle P} é um ponto na circunferência de Apolônio se e somente se a relação cruzada [ A , B ; C , P ] {\displaystyle [A,B;C,P]} estiver na circunferência unitário no plano complexo.
Circunferências generalizadas
Se M {\displaystyle M} for o ponto médio do segmento A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} , então o conjunto de pontos P {\displaystyle P} que satisfazem a condição de Apolônio | A P | | B P | = | A C | | B C | {\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}} não é uma circunferência, mas sim uma reta. Assim, se A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} são pontos distintos no plano, então o local dos pontos P {\displaystyle P} que satisfazem a equação acima é chamado de "circunferência generalizada". Ele pode ser uma circunferência verdadeiro ou uma linha. Nesse sentido, uma linha é uma circunferência generalizada de raio infinito.
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Em todo triângulo, um único círculo, chamado de círculo inscrito, pode ser inscrito de modo que seja tangente a cada um dos três lados do triângulo. Em todo triângulo, um único círculo, chamado de circunferência circunscrita, pode ser circunscrito de modo que passe por cada um dos três vértices do triângulo. Um polígono tangencial, como um quadrilátero tangencial, é qualquer polígono convexo no qual pode ser inscrita uma circunferência tangente a cada lado do polígono. Todo polígono regular e todo triângulo é um polígono tangencial. Um polígono cíclico é qualquer polígono convexo em torno do qual um círculo pode ser circunscrito, passando por cada vértice. Um exemplo bem estudado é o quadrilátero cíclico. Todo polígono regular e todo triângulo é um polígono cíclico. Um polígono que é cíclico e tangencial é chamado de polígono bicêntrico. Uma hipocicloide é uma curva que é inscrita em um determinado círculo, traçando um ponto fixo em um círculo menor que rola dentro do círculo dado e é tangente a ele.
