E (constante matemática)
O número e é uma constante matemática, aproximadamente igual a 2,71828, que é a base dos logaritmos naturais. Pode ser definido de diversas maneiras, como o limite de uma sequência, uma soma infinita, entre outras definições. O número e também é chamado de número de Euler, nomeado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, porém este nome pode levar a confusão com os números de Euler, ou a constante de Euler, uma constante diferente, usualmente denotada γ. Alternativamente, e pode ser chamada de constante de Neper, em homenagem a John Napier. A constante foi descoberta pelo matemático suíço Jacob Bernoulli enquanto estudava juros compostos.
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Definições
O número e pode ser definido em termos de limite como e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n , {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},} sendo essa expressão oriunda da análise de juros compostos. Este número também pode ser expresso como soma de uma série infinita: e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 + 1 1 + 1 1 ⋅ 2 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + ⋯ {\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots } Ele também é o único número positivo a tal que o gráfico da função y = ax tem um declive de 1 quando x = 0. A função exponencial (natural) exp(x) é a única função que é igual a sua própria derivada e que satisfaz a equação exp(0) = 1. Visto que a função exponencial é usualmente denotada como x ↦ ex, tem-se que e = e 1 = exp ( 1 ) . {\displaystyle e=e^{1}=\exp(1).}
Teoria dos números
e é irracional, o que significa que não pode ser escrito como uma razão de dois números inteiros. Euler provou isso ao mostrar que a expansão de sua fração contínua não termina. (Ver também a Prova de Fourirer de que e é irracional.) Além disso, pelo teorema de Lindemann–Weierstrass, e é transcendente, o que significa que ele não uma solução para uma equação polinomial não nula com coeficientes racionais. Ele foi o primeiro número a ser provado ser transcendente sem ter sido construído especificamente para esse fim (compare com os números de Liouville); a prova foi dada por Charles Hermite em 1873. É conjecturado que e seja normal, o que significa que quando e é expresso em qualquer base, os possíveis dígitos nesta base são distribuídos uniformemente (ocorre com mesma probabilidade em qualquer sequência de um dado comprimento).
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A primeira referência à constante foi publicada em 1618 numa tabela de apêndice de um trabalho de logaritmos por John Napier. No entanto, esta obra não continha a constante em si, mas simplesmente uma lista de logaritmos na base e. Assume-se que a tabela foi escrita por William Oughtred. Em 1647, Grégoire de Saint-Vincent, enquanto estudava a quadratura da hipérbole, demonstrou que a area sob a hipérbole xy = 1 entre x = a e x = b era igual à área entre x = ta e x = tb, para qualquer t > 0. Seu assistente, Alphonse Antonio de Sarasa, reconheceu que a propriedade descrita por Saint-Vincent acarretava a propriedade do produto, característica dos logaritmos, antecipando assim o conceito fundamental da função logarítmica de base e. Em 1661, Christiaan Huygens estudou como calcular logaritmos por métodos geométricos e calculou uma quantidade que seria o logaritmo de base 10 de e, mas ele não reconheceu o próprio e como uma quantidade de interesse.
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O número e ocorre naturalmente em conexão com diversos outros problemas envolvendo análise assintótica. Um exemplo é a Fórmula de Stirling para a análise assintótica da função fatorial, no qual ambos os números e e π aparecem: n ! ∼ 2 π n ( n e ) n . {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.} Consequentemente, e = lim n → ∞ n n ! n . {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}
Juros compostos
Jacob Bernoulli descobriu esta constante em 1683, enquanto estudava uma questão sobre juros compostos: Uma conta começa com $ 1,00 e paga 100% de juros ao ano. Se os juros forem creditados uma vez, no final do ano, o valor da conta no final do ano será de $ 2,00. O que acontece se os juros forem calculados e creditados com mais frequência durante o ano? Se os juros forem creditados duas vezes ao ano, os juros a cada seis meses serão de 50%; então o um dólar inicial será multiplicado por 1,5 duas vezes, rendendo $ 1,00 × 1,52 = $ 2,25 no fim do ano. Se forem considerados rendimentos trimestrais, renderão $ 1,00 × 1,254 = $ 2,44140625 e, mensalmente, $ 1,00 × (1 + 1/12)12 = $ 2,613035... Se há n intervalos compostos, os juros de cada intervalo serão 100%/n e o valor no fim do ano será $ 1,00 × (1 + 1/n)n.
Ensaio de Bernoulli
O Número e também tem aplicações na teoria das probabilidades, de uma maneira que não está obviamente relacionada com o crescimento exponencial. Suponha que um jogador jogue em uma máquina caça-níqueis que paga com uma probabilidade de uma em n jogadas e jogue n vezes. À medida que n aumenta, a probabilidade de o jogador perder todas as n apostas aproxima-se de 1/e. Para n = 20, isso já é aproximadamente 1/2,789509... Este é um exemplo de processo de Bernoulli. Cada vez que se joga no caça-níqueis, há uma probabilidade de uma em n de ganhar. Considerando o caso de n jogadas, pode-se modelar a situação pela distribuição binomial, que é proximamente relacionada ao binômio de Newton e ao triângulo de Pascal. A probabilidade de ganhar k vezes das n tentativas é de:
Crescimento e decaimento exponencial
O crescimento exponencial é um processo que aumenta a quantidade ao longo do tempo a uma taxa cada vez maior. Isso ocorre quando a taxa de variação instantânea (ou seja, a derivada) de uma quantidade em relação ao tempo é proporcional à própria quantidade. Descrita como uma função, uma quantidade passando por crescimento exponencial é uma função exponencial do tempo, ou seja, a variável que representa o tempo é o expoente (em contraste com outros tipos de crescimento, como a ordem quadrática). Se a constante de proporcionalidade for negativa, então a quantidade diminui ao longo do tempo, e diz-se que está passando por um decaimento exponencial. A lei do crescimento exponencial pode ser expressa de formas diferentes, mas matematicamente equivalentes, usando uma base diferente, para a qual o número e é uma escolha comum e conveniente: x ( t ) = x 0 ⋅ e k t = x 0 ⋅ e t / τ . {\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.}
Distribuição normal padrão
A distribuição normal com média zero e desvio padrão unitário é conhecida como a distribuição normal padrão, dada pela função densidade de probabilidade ϕ ( x ) = 1 2 π e − 1 2 x 2 . {\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.} A restrição do desvio padrão unitário (e, portanto, também da variância unitária) resulta no 1/2 do expoente, e a restrição da área total unitária sob a curva ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} resulta no fator 1 / 2 π {\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}} . Esta função possui o eixo de simetria em x = 0, onde ela atinge o seu valor máximo 1 / 2 π {\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}} , e tem os pontos de inflexão em x = ±1.
Desarranjo
Outra aplicação de e, também descoberta em parte por Jacob Bernoulli junto com Pierre Rémond de Montmort, está no problema de desarranjos: n convidados são convidados para uma festa e, à entrada, os convidados entregam seus chapéus ao mordomo, que por sua vez coloca os chapéus em n caixas, cada uma rotulada com o nome de um convidado. No entanto, o mordomo não perguntou as identidades dos convidados e, portanto, coloca os chapéus em caixas selecionadas aleatoriamente. O problema de Montmort é encontrar a probabilidade de nenhum dos chapéus ser colocado na caixa certa. Essa probabilidade, denotada por pn, é dada por: Quando n tende a infinito, pn se aproxima de 1/e. Além disso, o número de maneiras que os chapéus podem ser colocados nas caixas de forma que nenhum fique na caixa correta é o inteiro mais próximo de n!/e, para todo n positivo.
Problemas de planejamento ótimo
O valor máximo de x x {\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}} ocorre em x = e. Equivalentemente, para qualquer valor da base b > 1, o valor máximo de x-1logb x ocorre em x = e (o problema de cálculo de Steiner [en], discutido em § Função do tipo exponencial). Isto é útil em problemas de um graveto de comprimento L que foi quebrado em n partes iguais. O valor de n que maximiza o produto de seus comprimentos é A quantidade x-1logb x também é uma medida de informação extraída de um evento que ocorre com probabilidade 1/x (aproximadamente 36,8% quando x = e, de modo que essencialmente a mesma divisão ótima aparece em problemas de planejamento ótimo, como o problema da secretária.
Cálculo
A principal motivação para a introdução do número e, particularmente no cálculo, é para realizar cálculos diferenciais e integrais com funções exponenciais e logarítmicas. A função exponencial geral y = ax tem uma derivada, dada pelo limite: O limite entre parênteses é independente da variável x. Seu valor é o logaritmo de a na base e. Portanto, quando o valor de a é igual a e, o limite é igual a 1, e assim chega-se à simples identidade: d d x e x = e x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.} Assim, diferentemente de qualquer outra base, os cálculos envolvendo derivada são simplificados quando a base da função exponencial é e. Ao se considerar a derivada da função logarítmica de base a (ou seja, loga x), para x > 0
Desigualdades
O número e é o único número real tal que ( 1 + 1 x ) x < e < ( 1 + 1 x ) x + 1 {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}} para todo x positivo. Da primeira das desigualdades acima resulta que e x ≥ x + 1 {\displaystyle e^{x}\geq x+1} para todo x real, com a igualdade se, e somente se, x = 0. Tal desigualdade pode ser vista como um caso limite da desigualdade de Bernoulli. Além disso, e é a única base da exponencial ax tal que a desigualdade ax ≥ x + 1 se mantém verdadeira para todo x.
Função do tipo exponencial
O problema de cálculo de Steiner [en] questiona o máximo global da função f ( x ) = x 1 x . {\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.} Este máximo ocorre precisamente em x = e. Isso pode ser verificado ao notar que a derivada de ln f(x) é zero somente neste valor de x. Similarmente, x = 1/e é onde ocorre o mínimo global da função f ( x ) = x x . {\displaystyle f(x)=x^{x}.} converge se e somente se x ∈ [(1/e)e; e1/e] ≈ [0,06599; 1,4447] , o que foi mostrado por Leonhard Euler.
Números complexos
A função exponencial ex pode ser escrita como uma série de Taylor e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! . {\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.} Já que esta série é convergente para todo valor complexo de x, é comumente utilizada para estender a definição de ex para os números complexos. Isto, junto com a série de Taylor para sen e cos x, permite que seja derivado a fórmula de Euler: e i x = cos x + i sen x , {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x,} que vale para todo complexo x. O caso especial com x = π é a identidade de Euler: e i π + 1 = 0 , {\displaystyle e^{i\pi }+1=0,} que é considerado um exemplar de beleza da matemática, já que exibe uma profunda conexão entre os números mais fundamentais da matemática. Em adição, é diretamente utilizado numa prova que π é transcendente, que implica na impossibilidade da quadratura do círculo. Além disso, a identidade implica que, no principal ramo do logaritmo, ln ( − 1 ) = i π . {\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}
O número e pode ser representado de diversas maneiras: como uma série infinita, um produtório infinito, uma fração contínua, ou um limite. Em adição aos limites e séries dados acima, há também a fração contínua O seguinte produtório é avaliado como e e = 2 1 ( 4 3 ) 1 / 2 ( 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 ) 1 / 4 ( 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 ) 1 / 8 ⋯ . {\displaystyle e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .} Diversas outras representações de e como séries, produtórios, frações contínuas e limites já foram provados.
Representações estocásticas
Em adição às expressões analíticas exatas para representar e, há técnicas estocásticas para estimar e. Uma dessas aproximações inicia com a sequência infinita de variáveis aleatórias X1, X2..., dados da distribuição uniforme em [0, 1]. Seja V o menor número n tal que a soma das primeiras n observações exceda 1: V = min { n ∣ X 1 + X 2 + ⋯ + X n > 1 } . {\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.} Então o valor esperado de V é e: E(V) = e.
Dígitos conhecidos
O número de dígitos conhecidos de e aumentou substancialmente durante a última década. Isso foi devido tanto ao aumento do desempenho dos computadores quanto a melhorias nos algoritmos. Desde 2010, a proliferação de computadores pessoais modernos de alta velocidade, tornou-se viável que amadores computassem trilhões de dígitos de e numa quantidade aceitável de tempo. Em 5 de dezembro de 2020, foi realizado um cálculo recorde, no qual foram calculados 35 trilhões (3,5×1013) de dígitos de e.
Uma maneira de computar os dígitos de e é com a série e = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! . {\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}.} Um método mais rápido que envolve duas funções recursivas p(a, b) e q(a, b). As funções são definidas como A expressão 1 + p ( 0 , n ) q ( 0 , n ) {\displaystyle 1+{\frac {p(0,n)}{q(0,n)}}} produz a n-ésima soma parcial da série acima. Este método utiliza divisão binária [en] para computar e com menos operações aritméticas de dígito único e, portanto, reduzindo a complexidade por unidades. Combinando com métodos baseados na transformada rápida de Fourier de multiplicar inteiros deixa a computação dos dígitos bem rápida.
Durante o surgimento da cibercultura, o número e tem recebido homenagens ao longo da história, refletindo sua importância em diversas áreas. Um antigo exemplo é do cientista da computação Donald Knuth fez que o número da versão do seu programa Metafont se aproximasse de e. As versões eram 2, 2.7, 2.71, 2.718, e assim por diante. Noutra instância, a oferta pública inicial do Google em 2004, em vez de um valor redondo de dinheiro, a empresa anunciou que a intenção era de aumentar 2 718 281 828 USD, que é o arredondamento de e bilhões de dólares. O Google também foi responsável por um outdoor que apareceu no coração do Vale do Silício, e posteriormente em Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington; e Austin, Texas. Ele dizia "{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com" (lit. primeiro número primo de 10 dígitos encontrado em dígitos consecutivos de e). O primeiro número primo de 10 dígitos em e é 7427466391, que começa no 99.º dígito. Resolver esse problema e visitar o site anunciado (agora desativado) levou a um problema ainda mais difícil de resolver, que consistia em encontrar o quinto termo na sequência 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Descobriu-se que a sequência consistia em números de 10 dígitos encontrados em dígitos consecutivos de e, cuja soma dos dígitos era 49. O quinto termo na sequência é 5966290435, que começa no 127.º dígito. Resolver esse segundo problema levou finalmente a uma página da Google Labs onde o visitante era convidado a enviar um currículo.
Na computação científica, a constante e é geralmente codificada de forma rígida. Por exemplo, as bibliotecas padrões do Python incluem math.e = 2.718281828459045 uma aproximação de vírgula flutuante de e. Apesar disso, é mais numericamente estável e eficiente utilizar a função exponencial incorporada — como math.exp(x) em Python — em vez de computar ex via pow(e, x), mesmo que x seja um inteiro. A maioria das implementações da função exponencial usa redução de intervalo, tabelas de consulta e aproximações polinomiais ou racionais (como os aproximantes de Padé ou expansões de Taylor) para obter resultados precisos em uma ampla gama de entradas. Em contrapartida, funções exponenciais de uso geral — como pow — podem envolver cálculos intermediários adicionais, como logaritmos e multiplicações, e podem acumular mais erros de arredondamento, especialmente quando e é usado na forma de vírgula flutuante.
