Contraposição

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Considere o diagrama de Venn à direita. Está claro que, se algo está em A, também deve estar em B. Podemos reescrever "Todo A está em B" como Também é claro que qualquer coisa que não está em B, também não pode estar em A. Essa sentença, é a contrapositiva. Assim, podemos dizer que Na prática, isso pode facilitar bastante ao se tentar provar algo. Por exemplo, se queremos provar que toda garota nos Estados Unidos (A) é loira (B), nós podemos tanto tentar provar ( A → B ) {\displaystyle (A\to B)} , checando cada uma das garotas dos Estados Unidos para conferir se todas são loiras. Ou, de modo alternativo, podemos tentar provar ( ¬ B → ¬ A ) {\displaystyle (\neg B\to \neg A)} , checando todas as garotas que não são loiras para conferir se todas estão fora dos EUA. Isso significa que se nós encontrarmos pelo menos uma garota não-loira nos Estados Unidos, nós teremos refutado ( ¬ B → ¬ A ) {\displaystyle (\neg B\to \neg A)} , que é equivalente a ( A → B ) {\displaystyle (A\to B)} .

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A proposição Q é implicada pela proposição P quando a seguinte relação é verdadeira: Em termos coloquiais, isso significa que, "se P, então Q", ou, "se Sócrates é homem, então Socrates é humano." Numa condicional como essa, P é o antecedente, e Q é o consequente. Uma sentença é a contrapositiva de outra somente quando seu antecedente é a negação do consequente da outra, e vice-versa. A contrapositiva do exemplo é Isto é, "Se não-Q, então não-P", ou, mais precisamente "Se Q não é o caso, então P não é o caso." Usando nosso exemplo, "Se Sócrates não é humano, então Sócrates não é homem." Essa sentença é dita contraposta em relação à original e as duas são logicamente equivalentes. Devido à equivalência lógica, afirmar uma automaticamente afirma a outra: quando uma é verdadeira, a outra também é. O mesmo segue para a falsidade. Rigorosamente, a contraposição só pode existir em dois condicionais simples. Contudo, uma contraposição também pode existir em dois condicionais complexos, se os mesmos forem semelhantes. Assim, ∀ x ( P x → Q x ) {\displaystyle \forall {x}(P{x}\to Q{x})} , ou "Todos Ps são Qs," tem como contrapositiva ∀ x ( ¬ Q x → ¬ P x ) {\displaystyle \forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})} , ou "Todo não-Q é não-P."

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Na lógica de primeira ordem, uma sentença condicional é definida como:

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É dado que, se A é verdade, então B é verdade, e também é dado que B é falso. Nós podemos, então, mostrar que A não deve ser verdade, por contradição. Por exemplo, se A fosse verdadeiro, então B também teria que ser verdade (dado). Contudo, nos é dado que B não é verdadeiro, então nós temos uma contradição. Logo, A não é verdade (supondo que nós estamos lidando com afirmações concretas que só podem ser verdadeiras ou falsas (lei do terceiro excluído)): Podemos aplicar o mesmo processo no sentido contrário: Nós também sabemos que B ou é verdadeiro ou falso. Se B é falso, então A também é. Contudo, é dado que A é verdade. Então, a suposição de que B é falso nos leva a uma contradição, logo, deve ser falsa. Assim, B deve ser verdadeiro: Combinando os dois argumentos, chegamos à equivalência:

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Equivalência lógica entre duas proposições significa que ambas são simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas. Para provar que uma sentença e sua contrapositiva são logicamente equivalentes, precisamos entender quando uma implicação é verdadeira ou falsa. Esta sentença só é falsa quando P é verdadeiro e Q é falso. Assim, podemos reduzir essa proposição à sentença "Falso quando P e não-Q" (isto é, "Verdadeiro quando P não é o caso e não-Q"): Os elementos de uma conjunção lógica podem ser invertidos sem alterar o sentido da sentença (por comutatividade): Nós definimos R {\displaystyle R} como igual a " ¬ Q {\displaystyle \neg Q} ", e S {\displaystyle S} como igual a ¬ P {\displaystyle \neg P} (disso, ¬ S {\displaystyle \neg S} é igual a ¬ ¬ P {\displaystyle \neg \neg P} , que é igual a apenas P {\displaystyle P} ): Esta sentença se lê como "Não é verdade que (R é verdade e S é falso)", que é a definição de um condicional. Nós podemos, então, realizar a seguinte substituição:

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Como a contrapositiva de uma sentença sempre tem o mesmo valor-verdade (verdadeiro ou falso) que a sentença, a mesma pode ser uma ferramenta bastante útil para provar teoremas matemáticas. Uma prova por contraposição(contrapositiva), é uma prova direta da contrapositiva de uma declaração. Entretanto, os métodos indiretos, como prova por contradição também pode ser utilizado com contraposição, como, por exemplo, na prova da irracionalidade da raiz quadrada de 2. Pela definição de um número racional, podemos afirmar que "Se 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} for racional, então o mesmo pode ser expresso através de uma fração irredutível". Essa sentença é verdadeira, pois é uma forma de reescrever a definição (verdadeira). A contrapositiva desta sentença é "Se 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} não pode ser expresso através de uma fração irreedutível, então não é racional". Essa contrapositiva, bem como a sentença original, também é verdadeira. Assim, pode ser provado que 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} não pode ser expresso como uma fração irredutível, então, deve ser verdade que 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} não é um número racional. Este último pode ser provado por contradição.