Convolução
Em matemática, particularmente na área de análise funcional e processamento do sinal, convolução é um operador linear que, a partir de duas funções dadas, resulta numa terceira que mede a soma do produto dessas funções ao longo da região subentendida pela superposição delas em função do deslocamento existente entre elas. O conceito de convolução está ligado à integral de superposição na Óptica de Fourier, à integral de Duhamel na teoria das vibrações, ao Teorema de Borel no estudo de sistemas lineares invariantes no tempo, ao conceito de média móvel, às funções de correlação e de autocorrelação em estatística e em processamento de sinais, e a diversos conceitos usados em análise de imagens, como digitalização, alisamento, embaçamento e aberração cromática.
Convolução contínua
A notação para a convolução de f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} é f ∗ g {\displaystyle f*g} . Ela é definida como a integral do produto de uma das funções por uma cópia deslocada e invertida da outra; a função resultante h {\displaystyle h} depende do valor do deslocamento. Se x for a variável independente e u, o deslocamento, a fórmula pode ser escrita como: Note-se que h(x) depende de f(x) e de g(x) mas, para calcular h(x1), não basta conhecer f(x1) e g(x1); é preciso conhecer os valores de f(x) e de g(x) em todo o intervalo -∞ < x < ∞. Por razões históricas, a expressão de definição da convolução frequentemente refere-se a variáveis físicas relacionadas com o tempo, na forma seguinte:
Convolução discreta
Existe ainda uma definição de convolução para funções de domínio discreto, dada por Onde f e g são sequências de tamanho n e a fórmula fornece o valor do k-ésimo elemento do resultado. Deve-se notar que o tamanho de h é 2n-1, isto é, k varia de 0 a 2n-1 na fórmula acima. As sequências f e g não precisam necessariamente ter o mesmo tamanho, supondo f com n elementos e g com m elementos, o tamanho de k será dado por n+m-1. A convolução discreta pode ser escrita em forma matricial: onde f é um operador matricial que transforma o vetor (ou matriz-coluna) g em outro vetor (ou matriz-coluna) h, conforme abaixo: Note-se que g deve receber elementos nulos de modo a ficar com 2n-1 linhas, o mesmo tamanho de h. f será uma matriz de (2n-1) x (2n-1) elementos.[nota 2] Devido à presença desses n-1 zeros anexados a g, os valores nas n-1 colunas mais à direita de f não influem no resultado, e podem por conseguinte ser também zerados. Assim, pode-se escrever (2b) alternativamente como
A convolução como uma integral indefinida
Uma expressão alternativa para a definição de convolução contínua para funções f(x) e g(x) definidas no intervalo [0,∞][nota 3] é a seguinte: que é a equivalente contínua de (2c), assim como (1a) é a equivalente contínua de (2a).
Convolução cíclica
Se f e g são funções periódicas com período τ, a informação útil existente no intervalo -∞ < x < ∞ aparece toda em qualquer intervalo de tamanho τ; os valores em outros intervalos são apenas replicações daquele. Nesse caso, é suficiente computar a convolução dentro desse intervalo menor, o que é frequentemente menos trabalhoso, principalmente quando se trata da convolução discreta. Assim, define-se a convolução cíclica (ou convolução circular), na sua variante contínua, de f e g como onde a é arbitrário. Como as funções são periódicas, e o resultado também, é mais natural escrever com a substituição da variável linear x pela variável angular θ. Quanto à convolução cíclica discreta, é dada por
Convenções
Neste verbete, j, k, m e n denotam números inteiros. a e b são constantes reais. c é uma constante complexa. u, v, w, x, y e z denotam variáveis reais. s denota uma variável complexa. t e τ denotam o tempo em exemplos de aplicações físicas. ε denota uma grandeza infinitesimal. θ e φ denotam ângulos.
O exame direto da integral de definição deixa claro que a convolução é uma medida da área subentendida pelo produto da função f(x) com uma cópia invertida no tempo de g(x), em função da distância relativo entre elas. Algumas interpretações possíveis são mencionadas abaixo.
Como cálculo de uma média móvel ponderada
Para se adquirir uma boa visão intuitiva da convolução, pode-se entender que ela consiste no cálculo do valor médio da função g(x). Trata-se de uma média ponderada com pesos dados por f(x). A inversão de g(x) não altera nada na interpretação, pois x não tem significado físico. Inverte-se g(x) apenas por conveniência, uma vez que sem isso a operação não seria comutativa (ver mais abaixo). A figura abaixo ilustra um caso. A variável t representa o tempo, como ocorre em várias aplicações de física. A área de superposição de f(τ) e g(t - τ), em amarelo, é nula para |t - τ| > 1 e atinge um máximo de 1 em (t - τ) = 0, isto é, quando t = τ.
Como medição de uma grandeza física
Fisicamente, essa operação poderia ser encarada como o resultado da aplicação de um instrumento de medida cuja resposta fosse dada por f(x) a um fenômeno físico expresso pela função g(x). A convolução, nesse caso, daria o resultado da medição. Quanto mais constante e compacta for f(x) (ou seja, quanto mais preciso for o instrumento), mais o resultado final (a medição) será similar a g(x) (o fenômeno observado). A figura abaixo ilustra um exemplo. Novamente a variável t representa o tempo. O instrumento apresenta uma resposta com decaimento exponencial, um caso bastante comum. É fácil ver que um instrumento perfeito teria que ter uma resposta f(t) = δ(t), onde δ(t) é o Delta de Dirac ou impulso unitário: a área subentendida por f(t) é 0 para -∞ < t < ε, e muda bruscamente para 1 para t > ε. Dessa forma, h(t) = 0 para -∞ < t < ε e g(t) para t > ε.[nota 4]
Como o produto de dois polinômios
A convolução discreta nada mais é que o produto de Cauchy de dois polinômios f e g, de ordem n-1. Se f = f0 + f1x + f2x2 + … fn-1xn-1 e g = g0 + g1x + g2x2 + … gn-1xn-1, o produto será uma sequência h = h0 + h1x + h2x2 + … h2n-2x2n-2, com: que é idêntica à expressão (2a), a menos da notação usada. O resultado acima mostra que a convolução discreta pode ser usada para calcular o produto de quaisquer sequências f e g, mesmo que uma ou ambas sejam infinitas ou semi-infinitas. Nesse contexto, n é o número de termos da maior entre elas. Em um exemplo possível de aplicação, g é um conjunto de amostras de um sinal e f representa um processamento aplicado a g.
Como uma integral indefinida
Uma função escrita como integral indefinida na forma pode ser escrita na forma alternativa de uma integral imprópria onde H(x) é a função de passo de Heaviside (ou degrau unitário). Isso acontece porque a função H(x - u) é nula para qualquer valor de u > x, e igual a 1 para -∞ < u < x. é óbvio que a expressão da integral é uma convolução f(x) * H(x). Assim, pode-se escrever: para qualquer função f(x), contanto que a convolução possa ser calculada.
Como maneira de expressar uma sequência
Como a convolução possui um significado físico claro, muitas vezes prefere-se expressar o resultado de um problema resolvido através de métodos numéricos como uma convolução discreta, em lugar de expressá-lo como uma sequência de valores pura e simples ou mesmo como uma transformada discreta de Fourier.
Imagem: Vjelissahaissa · BY-SA · Openverse
Tanto a convolução contínua quanto a discreta exibem as seguintes propriedades: A operação de convolução, aplicada em conjunto com o Delta de Dirac, realiza uma função de amostragem de um ponto individual. Aplicada em conjunto com derivadas do Delta de Dirac, a convolução funciona como uma diferenciação. No caso discreto, uma aproximação é o uso dos operadores diferenciais onde T {\displaystyle T} é o período de amostragem. Essa regra deve-se ao fato de que as operações de derivação, integração e translação podem ser realizadas através da convolução, como mostrado nas expressões (3p), (1f) e (3l), respectivamente. O primeiro operador é chamado operador de diferença adiantada, e o segundo, operador de diferença atrasada. A convolução apresenta as seguintes propriedades interessantes relacionadas com a função de Heaviside: A convolução apresenta a seguinte propriedade relacionada à operação de autocorrelação:
Teorema da Convolução
O teorema da convolução diz que, para a convolução contínua onde F { f } {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}} denota a transformada de Fourier de f(x). Versões deste teorema também valem para a transformada de Laplace, a transformada bi-lateral de Laplace, a transformada Z, a transformada de Mellin e outras. Quando se trata da convolução discreta, F { f } {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}} denota a transformada discreta de Fourier. Neste caso, Note-se que o uso da transformada discreta de Fourier implica o uso da convolução cíclica, uma vez que as funções devem ser periódicas. n é o período de f e de g, e aparece como um fator de escalamento na própria definição da transformação.
Comportamento dos momentos de ordem 0 a 2
A área (momento de ordem 0) da convolução é igual ao produto das áreas das funções originais f(x) e g(x): A abcissa do centro de massa (momento de ordem 1) da convolução é igual à soma das abcissas dos centros de massa das funções originais f(x) e g(x). Se adotarmos a notação x ¯ f {\displaystyle {\bar {x}}_{f}} para a abcissa do centro de massa da função f(x), podemos escrever que é a definição de centro de massa. A propriedade pode ser escrita, então A variância (momento central de ordem 2) da convolução é igual à soma das variâncias das funções originais f(x) e g(x). Se adotarmos a notação σf para a variãncia da função f(x), podemos escrever
Uma convolução pode ser calculada diretamente das expressões de definição (1a), (2a), (2c), (1d) e (2d). Para exemplos, ver o anexo. Convoluções também podem ser calculadas indiretamente, lançando-se mão do teorema da convolução. A partir da expressão (3g), por exemplo, pode-se escrever e assim calcular a convolução de duas sequências a partir de suas transformadas de Fourier. Pode-se também usar outras transformadas para isso, como a transformada de Hartley. Para exemplos, ver o anexo.
A integral imprópria (1a), que define a convolução, não converge para qualquer par de funções. Por exemplo, se f(x) = g(x) = cos(x), a convolução não pode ser calculada. São condições suficientes (mas não necessárias) para a existência da convolução de duas funções f(x) e g(x):
definidas em um grupo topológico localmente compacto. Uma generalização diferente é a convolução de distribuições.[carece de fontes?]
Alisamento e embaçamento
A passagem de um sinal luminoso g(t) por um material transparente real pode ser expresso pela convolução de g com a função que descreve a resposta do material, f. Já se viu (ver acima) que f pode ser levantada experimentalmente aplicando-se um pulso luminoso suficientemente intenso e curto para ser representado pelo Delta de Dirac δ(t) e medindo-se o sinal de saída, h(t). Os efeitos observados experimentalmente de alisamento (ing. "smoothing") e embaçamento (ing. "blurring") podem ser explicados matematicamente a partir das propriedades da convolução. Chama-se alisamento ao fato de o resultado h(t) da convolução f(t) * g(t) ser sempre uma função mais suave do que os componentes f(t) e g(t). Formalmente, define-se o 'grau de suavidade n de uma função qualquer pela ausência de impulsos em suas derivadas. Por exemplo, o Delta de Dirac é uma função impulsiva, portanto seu grau de suavidade é 0; a função retangular não é impulsiva, mas sua derivada é, portanto seu grau de suavidade é 1. Se chamarmos nf , ng e nh ao grau de suavidade de f, g e h, respectivamente, pode-se demonstrar que nh = nf + ng.
Filtro de média móvel
Muitas vezes, o alisamento mencionado no item acima não é um efeito indesejável, e sim algo que se busca deliberadamente. Uma situação típica é a presença de um tipo específico de ruído no sinal, que provoca o aparecimento de flutuações de alta amplitude, curta duração e ocorrência aleatória; um exemplo é a ocorrência de um dia atípico dentro de um conjunto de medições meteorológicas abrangendo um período anual. Essas flutuações precisam ser removidas, para não comprometer a qualidade da informação transportada por g(t). O filtro de média móvel é um tipo comum de filtro digital, que pode ser descrito por meio da convolução da maneira seguinte:
Aplicações em Estatística
O Teorema do limite central é importante em estatística e pode ser enunciado de diversas maneiras equivalentes. Uma delas utiliza a convolucão: se f1(x), f2(x), f3(x) … fn(x) são funções densidade de probabilidade de cada um dos n conjuntos de amostras da mesma variável x, Ainda em estatística, pode-se demonstrar que, sendo X e Y duas variáveis aleatórias contínuas e independentes, e PX(R) e PY(R) denotando a respectiva probabilidade de possuírem o valor R, a probabilidade de que X + Y = Z será dada por
Expressão de funções como convoluções
Uma função qualquer f(x) pode ser expressa como uma convolução de duas outras funções, g(x) e h(x), com g(x) composta por uma soma de impulsos unitários e h(x), por um pulso triangular ou de ordem superior. A técnica envolve sucessivas diferenciações de f(x) de forma a expressar uma derivada de ordem superior por meio de um trem de impulsos, que será então a função g(x). Se f(x) for uma função linear em trechos, como na figura ao lado, com f(x) = 0 para |x| > 5, então f(x) será contínua em todo o intervalo [-∞,∞] e, nos pontos onde a abcissa é -5 e 5, a derivada f'(x) será impulsiva. Pode-se escrever: f"(x) pode, então, ser expressa como um trem de impulsos f"(x) = 2δ2(-5) - δ(-5) + 2δ(-3) - 3δ(0) + 3δ(3) + δ2(5) + δ(5). Se escrevermos h(x) como o trem de impulsos h(x) = f"(x) e g(x) como a função triangular tri(x)
As expressão (1) define a convolução em um espaço euclideano bidimensional, com apenas uma variável independente (na convenção usada, x). Pode-se generalizar a definição de forma a contemplar espaços com mais dimensões. A chamada convolução bidimensional é dada pela expressão e possui propriedades similares às da convolução unidimensional, valendo inclusive o teorema da convolução. As expressões para convolução com mais variáveis independentes é obtida de forma similar. Novas propriedades, que não se aplicam para a convolução unidimensional, aparecem nos espaços multidimensionais.
Rotação
Se uma das funções gira no espaço de um ângulo θ, o resultado gira da mesma forma. Podemos escrever: Se h 1 ( x , y ) = f ( x , y ) ∗ g ( x , y ) {\displaystyle h_{1}(x,y)=f(x,y)\;*\;g(x,y)} e h 2 ( x , y ) = f ( x cos ( θ ) − y sin ( θ ) , x sin ( θ ) + y cos ( θ ) ) ∗ ∗ g ( x , y ) {\displaystyle h_{2}(x,y)=f(x\;\cos(\theta )-y\sin(\theta ),x\sin(\theta )+y\cos(\theta ))\;**\;g(x,y)} então h 2 ( x , y ) = h 1 ( x cos ( θ ) − y sin ( θ ) , x sin ( θ ) + y cos ( θ ) ) {\displaystyle h_{2}(x,y)=h_{1}(x\cos(\theta )-y\sin(\theta ),x\sin(\theta )+y\cos(\theta ))}
Deformação
Se uma das funções sofre uma deformação numa direção, o resultado sofre uma deformação similar, mas numa direção perpendicular. Podemos escrever: Se h 1 ( x , y ) = f ( x , y ) ∗ g ( x , y ) {\displaystyle h_{1}(x,y)=f(x,y)\;*\;g(x,y)} e h 2 ( x , y ) = f ( x + a y , y ) ∗ ∗ g ( x , y ) {\displaystyle h_{2}(x,y)=f(x+ay,y)\;**\;g(x,y)} então h 2 ( x , y ) = h 1 ( x , y − a x ) {\displaystyle h_{2}(x,y)=h_{1}(x,y-ax)}
A convolução fracionária é definida pela expressão onde a é um número real entre 0 e 1. Ela se reduz à convolução usual quando a = 1 e se anula quando a = 0. Uma definição alternativa usa um ângulo α em lugar da variável linear a A propriedade fundamental da convolução fracionária é que
A deconvolução é a operação inversa da convolução: sendo h(x) = f(x) * g(x), com h(x) e f(x) dados, encontrar g(x). Para obter-se a deconvolução contínua é preciso resolver uma equação integral. Já a deconvolução discreta pode ser obtida facilmente pela fórmula
