Coordenadas parabólicas
As coordenadas parabólicas são um sistema bidimensional de coordenadas ortogonais em que as linhas coordenadas são parábolas confocais. A versão tridimensional das coordenadas parabólicas é obtida através da rotação do sistema bidimensional sobre o eixo de simetria de todas as parábolas.
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AS coordenadas parabólicas bidimensionais ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\tau )} são definidas pelas equações As curvas com σ {\displaystyle \sigma } constante formam parábolas confocais voltadas para cima (ou seja, no sentido + y {\displaystyle +y} ), ao passo que as curvas com τ {\displaystyle \tau } constante formam parábolas confocais voltadas para baixo (ou seja, no sentido − y {\displaystyle -y} ). Os focos de todas essas parábolas estão localizados na origem.
Os fatores de escala para as coordenadas parabólicas ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\tau )} são iguais a Outros operadores diferenciais tais como ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } e ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } podem ser expressos nas coordenadas (σ, τ) substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais para coordenadas ortogonais.
As coordenadas parabólicas bidimensionais formam a base para dois conjuntos de coordenadas ortogonais tridimensionais. As coordenadas cilíndricas parabólicas são produzidas por projeção na direção z {\displaystyle z} . A rotação sobre o eixo de simetria das parábolas produz um conjunto de paraboloides confocais, formando um sistema de coordenadas que também é conhecido como "coordenadas parabólicas" onde as parábolas estão alinhadas com o eixo z {\displaystyle z} , sobre o qual a rotação foi realizada. Assim, o ângulo azimutal ϕ {\displaystyle \phi } é definido por As superfícies cujo σ {\displaystyle \sigma } é constante formam paraboloides confocais Com concavidade para cima (ou seja, no sentido + z {\displaystyle +z} ), enquanto que as superfícies com τ {\displaystyle \tau } constante formam paraboloides confocais de concavidade para baixo (ou seja, na direção − z {\displaystyle -z} ). Os focos de todos estes paraboloides estão localizados na origem.
Os três fatores de escala tridimensionais são: Nota-se que os fatores de escala h σ {\displaystyle h_{\sigma }} e h τ {\displaystyle h_{\tau }} são os mesmos do caso bidimensional. O elemento infinitesimal de volume é então Outros operadores diferenciais tais como ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } e ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } podem ser expresso nas coordenadas ( σ , τ , ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )} substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais encontradas em coordenadas ortogonais.
A conversão de coordenadas cartesianas para as parabólicas é efetuada através da seguinte transformação: O jacobiano da transformação de coordenadas dado em termos infinitesimais como sendo sob as condições η ≥ 0 , {\displaystyle \eta \geq 0,} e ξ ≥ 0. {\displaystyle \xi \geq 0.} Se φ = 0, então uma seção transversal é obtida; as coordenadas se limitam ao plano xz: Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria da parábola é vertical e sua concavidade é voltada para cima. Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria é vertical e sua concavidade é voltada para baixo. Agora considere qualquer parábola η=c para cima e qualquer parábola ξ= b para baixo. É desejável encontrar sua interseção: cancelando os fatores comuns de ambos os lados, x é a média geométrica de b e c. A abscissa da intersecção foi encontrada. Vamos encontrar a ordenada. Substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para cima:
