Corpo rígido
Em mecânica clássica, um corpo rígido é um objeto idealizado em que a distância entre dois pontos quaisquer que o compõem é invariável sob a ação de forças externas; isto é, um corpo indeformável sob quaisquer forças a ele aplicadas. Em linguagem matemática, é definido como um conjunto finito de N partículas de massas mi e posições ri, tal que a distância entre duas partículas i e j, |ri-rj|, é constante no tempo. Em outras palavras, um corpo rígido é uma "nuvem" de partículas cuja distância entre elas não muda no tempo, assim não alterando as dimensões nem formas do corpo quando aplicada uma força.
Se todas as forças externas aplicadas num corpo rígido, somadas num ponto qualquer, produzem força resultante e binário resultante nulos, conclui-se que a força resultante e o binário resultante também serão nulos em qualquer outro ponto. A justificação é que, como a força resultante é obtida somando as forças como vetores livres, será igual em qualquer ponto; o binário resultante sim é diferente quando a força resultante é colocada em diferentes pontos e a diferença entre o binário em dois pontos diferentes será igual ao momento introduzido quando a força resultante for deslocada entre esses pontos. Mas no caso em que a força resultante é nula, esse deslocamento par diferentes pontos não produz nenhum binário adicional e o binário devera ser igual, e nulo, em todos os pontos. Quando a força resultante e o binário resultante são nulos, diz-se que o corpo rígido está em equilíbrio. Equilíbrio esse que pode ser estático (objeto em repouso) ou cinético (objeto com movimento linear uniforme).
Um corpo rígido é uma distribuição contínua de massa num volume. Se a massa total do corpo for m {\displaystyle \mathrm {m} } , e d m {\displaystyle \mathrm {d} \,m} for a massa infinitesimal que existe em cada ponto do corpo, m = ∫ d m {\displaystyle m=\int \mathrm {d} \,m} em que o integral é de volume, dentro do volume ocupado pelo sólido, já que d m {\displaystyle \mathrm {d} \,m} é o produto da massa volúmica ρ {\displaystyle \rho } pelo volume infinitesimal d x d y d z {\displaystyle \mathrm {d} \,x\mathrm {d} \,y\mathrm {d} \,z} . Define-se o vetor posição do centro de massa, r → c m {\displaystyle {\vec {r}}_{\mathrm {cm} }} , igual à média, pesada pela massa, do vetor posição no sólido: r → c m = ∫ r → d m m {\displaystyle {\vec {r}}_{\mathrm {cm} }={\dfrac {\displaystyle \int {\vec {r}}\,\mathrm {d} \,m}{m}}}
A dinâmica do corpo rígido consiste no estudo dos efeitos das forças e binários externos na variação dos seus seis graus de liberdade. A trajetória de um ponto qualquer no corpo, usado como referência, dá informação sobre a variação de três desses graus de liberdade. Os restantes 3 graus de liberdade são 3 ângulos. No pião da figura acima indicam-se dois ângulos, β {\displaystyle \beta } e ϕ {\displaystyle \phi } , que definem a direção do eixo do pião; o terceiro ângulo, θ {\displaystyle \theta } , determina a rotação do pião em relação ao seu eixo. Nesse caso, dois dos ângulos, β {\displaystyle \beta } e θ {\displaystyle \theta } , variam em função do tempo e, portanto, há duas velocidades angulares, β ˙ {\displaystyle {\dot {\beta }}} e θ ˙ {\displaystyle {\dot {\theta }}} . No pião da figura, o momento do peso em relação ao ponto de contacto no chão produz rotação no sentido em que o ângulo ϕ {\displaystyle \phi } aumentaria, mas como o pião já tem outra rotação no sentido indicado para o aumento de θ {\displaystyle \theta } , o eixo do pião não cai mas desloca-se no círculo indicado na figura.
Rotação com eixo fixo
Quando o eixo de rotação de um corpo rígido permanece fixo em relação a um sistema inercial, a segunda lei de Newton será válida para as acelerações medidas no referencial do corpo rígido. Assim sendo, a equação da aceleração de corpos rígidos permite calcular a força que atua na massa diferencial d m {\displaystyle \mathrm {d} \,m} em cada ponto. d f → = ( R α e → θ − R ω 2 e → R ) d m {\displaystyle \mathrm {d} \,{\vec {f}}=\left(R\,\alpha \,{\vec {e}}\theta -R\,\omega ^{2}\,{\vec {e}}_{R}\right)\mathrm {d} \,m} Cada uma dessas forças produz um momento r → × d f → {\displaystyle {\vec {r}}\times \mathrm {d} \,{\vec {f}}} em relação à origem, mas como o corpo rígido pode rodar unicamente em torno do eixo fixo z {\displaystyle z} , interessa unicamente calcular a componente z {\displaystyle z} , obtida usando unicamente a componente radial do vetor de posição:
Translação sem rotação
Num corpo rígido com movimento de translação sem rotação, a cada instante a aceleração de todos os pontos é a mesma, igual à aceleração do centro de massa, que é igual à soma das forças externas dividida pela massa do corpo. Como o corpo não roda, a soma dos momentos de todas as forças em relação ao centro de massa deverá ser nula. Há que ter atenção ao facto de que a soma do momentos é nula unicamente em relação ao centro de massa; em relação a outro ponto P, a soma dos momentos será igual e oposta ao momento da força resultante, que atua no centro de massa, em relação a P.
