Complexo cotangente
Na matemática, o complexo cotangente é uma generalização comum do feixe cotangente, do fibrado normal e do fibrado tangente virtual associados a uma aplicação entre espaços geométricos, tais como variedades ou esquemas. Se for um morfismo de objetos algébricos ou geométricos, o complexo cotangente correspondente pode ser compreendido como uma "linearização" universal desse morfismo, cuja função principal é controlar a teoria da deformação de . Ele é construído como um objeto em uma determinada categoria derivada de feixes sobre por meio de métodos da álgebra homotópica.
Suponha que X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} sejam variedades algébricas e que f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} seja um morfismo entre elas. O complexo cotangente de f {\displaystyle f} é uma versão mais universal das diferenciais de Kähler relativas Ω X / Y {\displaystyle \Omega _{X/Y}} . A motivação mais elementar para a introdução de tal objeto decorre da sequência exata de diferenciais de Kähler associada a uma composição de morfismos. Se Z {\displaystyle Z} for outra variedade e g : Y → Z {\displaystyle g:Y\to Z} for outro morfismo, obtém-se a sequência exata: Em certo sentido, portanto, as diferenciais de Kähler relativas comportam-se como um functor exato à direita. (Rigorosamente, essa terminologia não se aplica de modo literal, visto que a categoria das variedades algébricas não é uma categoria abeliana e, por conseguinte, a exatidão à direita não está definida nesse contexto). De fato, antes da formulação formal do complexo cotangente, existiam diversas propostas de funtores destinados a estender essa sequência para a esquerda, tais como os funtores de Lichtenbaum–Schlessinger T i {\displaystyle T^{i}} e os módulos de imperfeição. A maioria dessas construções era motivada por problemas da teoria da deformação.
Os complexos cotangentes surgiram no início da década de 1960 sob formulações preliminares múltiplas e parcialmente incompatíveis entre si, com graus crescentes de generalidade. A primeira ocorrência de funtores de homologia correlatos, no contexto restrito de extensão de corpos, foi introduzida por Cartier (1956). Posteriormente, em 1961, Alexandre Grothendieck desenvolveu uma versão precursora dos complexos cotangentes voltada à demonstração de seu teorema de Grothendieck–Riemann–Roch geral na geometria algébrica, com a finalidade de estruturar uma teoria de fibrados tangentes virtuais. Essa formulação foi descrita por Pierre Berthelot no SGA 6, Exposé VIII. Ela aplicava-se exclusivamente quando f {\displaystyle f} era um morfismo suavizável (isto é, um morfismo fatorável como uma imersão fechada seguida por um morfismo suave). Nesse caso, o complexo cotangente de f {\displaystyle f} , concebido como um objeto na categoria derivada de feixes coerentes sobre X {\displaystyle X} , era definido da seguinte forma:
A definição rigorosa do complexo cotangente desenvolve-se no âmbito da álgebra homotópica. Quillen e André trabalharam no contexto de anéis comutativos simpliciais, enquanto Illusie atuou de maneira mais ampla com topoi anelados simpliciais, estruturando a teoria "global" sobre diversos tipos de espaços geométricos. Por simplicidade, analisa-se inicialmente o caso de anéis comutativos simpliciais. Sejam A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} anéis simpliciais, sendo B {\displaystyle B} uma A {\displaystyle A} -álgebra. Escolhe-se uma resolução r : P ∙ → B {\displaystyle r:P^{\bullet }\to B} de B {\displaystyle B} por A {\displaystyle A} -álgebras livres simpliciais. Tal resolução pode ser obtida utilizando o functor da A {\displaystyle A} -álgebra comutativa livre, que associa a cada conjunto S {\displaystyle S} a A {\displaystyle A} -álgebra livre A [ S ] {\displaystyle A[S]} . Para uma A {\displaystyle A} -álgebra B {\displaystyle B} , essa estrutura vem munida de uma aplicação canônica de aumento η B : A [ B ] → B {\displaystyle \eta _{B}:A[B]\to B} , que mapeia combinações formais de elementos de B {\displaystyle B} em um elemento de B {\displaystyle B} pela regra:
Configuração
Uma das aplicações mais diretas do complexo cotangente situa-se na teoria da deformação. Considere, por exemplo, um esquema f : X → S {\displaystyle f:X\to S} e um espessamento infinitesimal de quadrado nulo S → S ′ {\displaystyle S\to S'} , isto é, um morfismo de esquemas cujo feixe de ideais de definição possui a propriedade de que seu quadrado é nulo: Um dos problemas fundamentais da teoria da deformação consiste em classificar a família de esquemas X ′ {\displaystyle X'} que preenchem quadrados cartesianos da forma: Exemplos recorrentes incluem estender esquemas definidos sobre Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } para Z / p 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} } , ou deformar esquemas definidos sobre um corpo k {\displaystyle k} de característica 0 para o anel de números duais k [ ε ] {\displaystyle k[\varepsilon ]} , com ε 2 = 0 {\displaystyle \varepsilon ^{2}=0} . O complexo cotangente L X / S ∙ {\displaystyle \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }} governa as obstruções e o espaço de soluções associados a esse problema. Ele pode ser reformulado homologicamente pela análise do conjunto de extensões do diagrama comutativo:
Implicações geométricas
Uma das propriedades fundamentais do complexo cotangente é o fato de que, dado um morfismo de S {\displaystyle S} -esquemas pode-se construir o complexo cotangente relativo L X / Y ∙ {\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }} como o cone do morfismo canônico: Essa relação constitui um dos pilares da teoria, pois assegura que as deformações do morfismo f {\displaystyle f} entre S {\displaystyle S} -esquemas são governadas por esse complexo. Em particular, L X / Y ∙ {\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }} rege as deformações de f {\displaystyle f} enquanto elemento do espaço Hom S ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Y)} , as deformações de X {\displaystyle X} para as quais f {\displaystyle f} admite extensão e as deformações análogas de Y {\displaystyle Y} . Esse mecanismo é basilar para a teoria de Gromov–Witten (ver abaixo), dedicada ao estudo de morfismos de curvas algébricas dotadas de gênero fixo e pontos marcados em direção a um esquema alvo X {\displaystyle X} .
Mudança de base plana
Sejam B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} duas A {\displaystyle A} -álgebras tais que Tor q A ( B , C ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)=0} para todo q > 0 {\displaystyle q>0} . Então existem quase-isomorfismos canônicos: Se C {\displaystyle C} for uma A {\displaystyle A} -álgebra plana, o anulamento de Tor q A ( B , C ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)} para q > 0 {\displaystyle q>0} é automático. A primeira fórmula demonstra que a construção do complexo cotangente é local na base com respeito à topologia plana.
Propriedades de anulamento
Seja f : A → B {\displaystyle f:A\to B} um homomorfismo de anéis. Verificam-se as seguintes propriedades:
Caracterização de interseções completas locais
A teoria do complexo cotangente permite caracterizar homologica e intrinsecamente os morfismos de interseção completa local (ICL, ou lci), ao menos sob hipóteses noetherianas. Seja f : A → B {\displaystyle f:A\to B} um morfismo de anéis noetherianos tal que B {\displaystyle B} seja uma A {\displaystyle A} -álgebra finitamente gerada. Sob a perspectiva introduzida por Quillen a partir dos trabalhos de Lichtenbaum–Schlessinger, demonstra-se que o segundo grupo de homologia de André–Quillen D 2 ( B / A , M ) {\displaystyle D_{2}(B/A,M)} anula-se para todo B {\displaystyle B} -módulo M {\displaystyle M} se, e somente se, f {\displaystyle f} for de interseção completa local. Combinando esse critério com os resultados de anulamento anteriores, deduz-se que:
Descida plana
Bhargav Bhatt demonstrou que o complexo cotangente satisfaz a propriedade de descida fielmente plana (derivada). Em termos precisos, para qualquer morfismo fielmente plano f : A → B {\displaystyle f:A\to B} de R {\displaystyle R} -álgebras, obtém-se uma equivalência: na categoria derivada de R {\displaystyle R} , onde o membro direito representa o limite de homotopia do objeto cosimplicial gerado pela aplicação de L − / R {\displaystyle L_{-/R}} ao conervo de Čech associado a f {\displaystyle f} . (O conervo de Čech corresponde ao objeto cosimplicial subjacente ao complexo de Amitsur). Mais genericamente, todas as potências exteriores do complexo cotangente satisfazem igualmente a descida fielmente plana.
Esquemas suaves
Seja X ∈ Sch / S {\displaystyle X\in \operatorname {Sch} /S} um esquema suave sobre S {\displaystyle S} . Nesse caso, o complexo cotangente reduz-se canonicamente a Ω X / S {\displaystyle \Omega _{X/S}} . Na formulação de Berthelot, esse resultado é imediato tomando-se V = X {\displaystyle V=X} . De modo geral, como X {\displaystyle X} é étale-localmente sobre S {\displaystyle S} isomórfico a um espaço afim de dimensão finita com a projeção canônica correspondente, pode-se reduzir a análise ao caso afim no qual S = Spec ( A ) {\displaystyle S=\operatorname {Spec} (A)} e X = Spec ( A [ x 1 , … , x n ] ) {\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A[x_{1},\ldots ,x_{n}])} . Tomando-se a resolução da álgebra polinomial como sendo a aplicação identidade, conclui-se diretamente que o complexo cotangente coincide com o feixe clássico de diferenciais de Kähler.
Imersões fechadas em esquemas suaves
Seja i : X → Y {\displaystyle i:X\to Y} uma imersão fechada entre esquemas suaves em Sch / S {\displaystyle \operatorname {Sch} /S} . Por meio do triângulo exato associado à composição de morfismos X → Y → S {\displaystyle X\to Y\to S} , é possível determinar o complexo cotangente relativo L X / Y {\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}} . Com efeito, pelo exemplo anterior, os complexos cotangentes absolutos L X / S {\displaystyle \mathbf {L} _{X/S}} e L Y / S {\displaystyle \mathbf {L} _{Y/S}} concentram-se estritamente no grau zero, coincidindo com as diferenciais de Kähler Ω X / S {\displaystyle \Omega _{X/S}} e Ω Y / S {\displaystyle \Omega _{Y/S}} , respectivamente, anulando-se em todos os demais graus. O triângulo exato impõe que L X / Y {\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}} seja não nulo exclusivamente no grau 1, correspondendo nesse grau ao núcleo da aplicação canônica i ∗ L Y / S → L X / S {\displaystyle i^{*}\mathbf {L} _{Y/S}\to \mathbf {L} _{X/S}} . Esse núcleo coincide com o feixe conormal da imersão, recuperando a sequência exata conormal. Assim, no grau 1, L X / Y {\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}} é dado pelo fibrado conormal C X / Y {\displaystyle C_{X/Y}} .
Interseção completa local
Mais geralmente, um morfismo de interseção completa local X → Y {\displaystyle X\to Y} cujo alvo seja suave admite um complexo cotangente perfeito concentrado na amplitude [ − 1 , 0 ] {\displaystyle [-1,0]} . Ele é explicitamente representado pelo complexo de comprimento dois: Por exemplo, o complexo cotangente da cúbica reversa (ou torcida) X {\displaystyle X} imersa no espaço projetivo P 3 {\displaystyle \mathbb {P} ^{3}} é expresso pelo complexo:
Complexos cotangentes na teoria de Gromov–Witten
No âmbito da teoria de Gromov–Witten, investigam-se os invariantes geométricos enumerativos de curvas pontuadas em espaços geométricos. Em termos gerais, consideram-se os espaços de módulos estruturados como pilhas algébricas as quais classificam famílias de aplicações estáveis provenientes de curvas de gênero g {\displaystyle g} com n {\displaystyle n} pontos marcados em direção a uma variedade alvo fixada X {\displaystyle X} . Como a geometria enumerativa analisa o comportamento genérico dessas famílias, a teoria de deformação que rege tais problemas requer deformar simultaneamente a curva de domínio C {\displaystyle C} , a aplicação π {\displaystyle \pi } e a variedade de chegada X {\displaystyle X} . Essa estrutura de deformações é integralmente controlada pelo complexo cotangente relativo L C / X ∙ {\displaystyle \mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }} . A partir do triângulo distinguido
