Equações de Maxwell

As formulações de Maxwell em 1865 estavam em torno de vinte equações de vinte variáveis, que incluíam diversas equações hoje consideradas auxiliares das equações de Maxwell: a lei de Ampère corrigida, uma equação de três componentes; a lei de Gauss para carga, descrita por uma equação; a relação entre densidade de corrente total e de deslocamento, descrita por três equações, a relação entre campo magnético e o vetor potencial, descrita por uma equação de três componentes, que implica a ausência de monopolo magnético; a relação entre campo elétrico e os potenciais escalar e vetorial, descrita por equações de três componentes, que implicam a Lei de Faraday; a relação entre campos elétrico e de deslocamento, descrita por equações de três componentes, a Lei de Ohm, que relaciona intensidade de corrente e campo elétrico, descrita por equações de três componentes; e a equação de continuidade, que relaciona a intensidade de corrente e densidade de carga, descrita por uma equação.

Conceitualmente, as equações de Maxwell descrevem como cargas elétricas e correntes elétricas agem como fontes dos campos elétrico e magnético. Além do mais, as equações de Maxwell descrevem como um campo elétrico que varia no tempo gera um campo magnético que também varia no tempo, e vice-versa. Das quatro equações, duas delas, a lei de Gauss e a lei de Gauss para o magnetismo, descrevem como os campos são gerados a partir de cargas. Para o campo magnético, como não há carga magnética, as linhas de campo magnético não começam nem terminam, ou seja, as linhas são como trajetórias fechadas. As outras duas equações descrevem como os campos "circulam" em torno de suas respectivas fontes: o campo magnético "circula" em torno de correntes elétricas e de campos elétricos variantes com o decorrer do tempo, conforme a lei de Ampère com a correção do próprio Maxwell; campos elétricos "circulam" em torno de campos magnéticos que variam com o tempo, conforme a lei de Faraday.

Na formulação do campo elétrico e magnético, existem quatro equações que determinam os campos para determinada carga e distribuição de corrente. Uma lei separada da natureza, a lei da força de Lorentz, descreve como, inversamente, o campo elétrico e magnético atua sobre partículas carregadas e correntes. Uma versão desta lei foi incluída nas equações originais por Maxwell mas, por convenção, ela foi excluída. Por formalismo de cálculo vetorial abaixo, devido a Oliver Heaviside, tornou-se padrão. É manifestamente rotativo invariante e, portanto, matematicamente muito mais transparente que as 20 equações originais de Maxwell em componentes x, y, z. As formulações relativísticas são ainda mais simétricas e manifestamente invariantes por Lorentz. Para as mesmas equações expressas usando cálculo tensorial ou formas diferenciais. As formulações de equações diferenciais e integrais são matematicamente equivalentes e são úteis. A formulação integral relaciona campos dentro de uma região de espaço a campos no limite e pode freqüentemente ser usada para simplificar e calcular diretamente campos de distribuições simétricas de cargas e correntes. Por outro lado, as equações diferenciais são puramente locais e são um ponto de partida mais natural para o cálculo dos campos em situações mais complicadas (menos simétricas), por exemplo, usando a análise de elementos finitos.

A equivalência das formulações integrais e diferenciais é consequência do Teorema da Divergência e do Teorema de Kelvin-Stokes.

As equações de Maxwell variam conforme o sistema de unidades usado. Embora a forma geral permaneça, várias definições são alteradas e diferentes constantes aparecem em diferentes lugares. As equações nesta seção são dadas no Sistema Internacional de Unidades (SI). Outras unidades comumente usadas são as unidades gaussianas, baseado no sistema CGS de unidades, as unidades de Lorentz-Heaviside, usado principalmente em física de partículas e as unidades naturais, conhecidas também como unidades de Planck, usada em física teórica. Nas equações abaixo, símbolos em negrito representam grandezas vetoriais, e símbolos em itálico representam grandezas escalares. As definições dos termos usados abaixo são dadas logo abaixo em tabelas a parte.

Na relatividade especial, para expressar mais claramente o fato de que as equações de Maxwell no vácuo tomam a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas inerciais, as equações de Maxwell são escritas em termos de quadrivetores e quadritensores na forma manifestamente covariante: onde J é a quadricorrente, F é o tensor intensidade de campo ou tensor de Faraday, escrito como uma matriz 4 × 4 , e ∂ α = ( ∂ / ∂ c t , ∇ ) {\displaystyle \partial _{\alpha }=(\partial /\partial ct,\nabla )} é o quadrigradiente, tal que ∂ α ∂ α {\displaystyle \partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }} é o operador d'Alembertiano. O α na primeira equação é implicitamente somado de acordo com a convenção da notação de Einstein. A primeira equação tensorial expressa as duas equações inomogêneas de Maxwell: lei de Gauss e a lei de Ampère com a correção de Maxwell. A segunda equação expressa as outras duas equações homogêneas: a lei de indução de Faraday e a ausência de monopólos magnéticos.

No vazio, onde não existem cargas nem correntes, podem ainda existir campos elétrico e magnético. Nesse caso, as quatro equações de Maxwell são: O único parâmetro nessas equações é a constante k m / k {\displaystyle k_{\mathrm {m} }/k} . No sistema internacional de unidades, o valor dessa constante é: k m k = 10 − 7 T ⋅ m ⋅ A − 1 9 × 10 9 N ⋅ m 2 ⋅ C − 2 = 1 9 × 10 16 s 2 m 2 {\displaystyle {\frac {k_{\mathrm {m} }}{k}}={\frac {10^{-7}\;\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} \cdot \mathrm {A} ^{-1}}{9\times 10^{9}\;\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ^{2}\cdot \mathrm {C} ^{-2}}}={\frac {1}{9\times 10^{16}}}\;{\frac {\mathrm {s} ^{2}}{\mathrm {m} ^{2}}}} que é exatamente igual ao inverso do quadrado da velocidade da luz c = 3 × 10 8 m / s {\displaystyle c=3\times 10^{8}\;\mathrm {m} /\mathrm {s} } : k m k = 1 c 2 {\displaystyle {\frac {k_{\mathrm {m} }}{k}}={\frac {1}{c^{2}}}} Na época de Maxwell, meados do século XIX, a velocidade da luz já tinha sido medida com precisão dando exatamente o mesmo valor que acabamos de calcular a partir da constante de Coulomb e da constante magnética. Assim, Maxwell concluiu que a luz deveria ser uma onda eletromagnética, composta por campos elétrico e magnético que se propagam no espaço.

No vácuo, onde ε e μ são constantes em toda parte, as equações de Maxwell simplificam-se consideravelmente uma vez que se use a linguagem da geometria diferencial e formas diferenciais. Com isso, os campos elétrico e magnético são conjuntamente descritos por uma 2-forma em um espaçotempo quadridimensional, a qual é usualmente chamada F. As equações de Maxwell então se reduzem à identidade de Bianchi onde d é a derivada exterior, e a equação fonte onde o asterisco * é a estrela de Hodge. Aqui, os campos são representados em unidades naturais onde ε0 é 1. Aqui, J é a 1-forma, chamada de corrente elétrica, que satisfaz a equação da continuidade

A formulação mais concisa e abrangente das equações de Maxwell e da eletrodinâmica clássica em geral é como um espaço fibrado com fibra U(1). A conexão no espaço fibrado é d+A com A sendo o quadrivetor compreendendo o potencial elétrico e o potencial vetor magnético. A curvatura da conexão F=dA é a intensidade de campo. Há um resultado criticamente importante dentro do conceito de espaço fibrado que mostra que esta é a abordagem correta: a holonomia em um espaço fibrado descreve o efeito Aharonov-Bohm. Embora o efeito Aharonov-Bohm seja algumas vezes admitido como um efeito quântico, sua explicação não requer qualquer quantização do campo eletromagnético. O efeito pode ser entendido em termos puramente clássicos como a holonomia de uma curva em um espaço fibrado. Sem a formulação do espaço fibrado, o efeito Aharonov-Bohm parece ser uma fantasmagórica ação a distância, inexplicável pelas tradicionais equações de Maxwell.