Espaço vetorial
Um espaço vetorial é uma coleção de objetos chamada vetores, que podem ser somados um a outro e multiplicados ("escalonados") por números, denominados escalares. Os números reais são escalares frequentemente utilizados, mas também existem espaços vetoriais com multiplicação por números complexos, números racionais; em geral, por qualquer corpo. As operações de adição de vetores e multiplicação por escalar precisam satisfazer certas propriedades, denominadas axiomas. Para explicitar se os escalares são números reais ou complexo, os termos espaço vetorial real e espaço vetorial complexo são frequentemente utilizados.
O conceito de espaço vetorial será primeiramente explicado pela descrição de dois exemplos específicos:
Primeiro exemplo: setas em um plano
O primeiro exemplo de um espaço vetorial consiste de setas em um plano fixo, começando por um ponto fixo. Isso é usado em física para descrever forças ou velocidades. Dadas duas setas deste tipo, v e w, o paralelogramo formado por elas contém uma seta diagonal que também começa na origem. Essa nova seta é chamada de soma das setas anteriores e é denotada por v + w. No caso especial de duas setas na mesma linha, a soma delas é a seta na mesma linha cujo comprimento é a soma ou a diferença dos comprimentos, dependendo se as setas possuem mesmo sentido ou sentidos opostos. Uma outra operação que pode ser feita com setas é o seu escalonamento: dado qualquer número real positivo a, a seta que tem a mesma direção que v, mas está dilatada ou contraída ao multiplicar seu comprimento por a, é chamada multiplicação de v por a. É denotada por av. Quando a for negativo, av é definido como a seta apontando no sentido oposto.
Segundo exemplo: pares ordenados de números
Um segundo exemplo chave de um espaço vetorial é fornecido por pares de números reais x e y. (A ordem das componentes x e y é importante, de modo que um par também seja chamado de par ordenado.) Tal par é escrito como (x, y). A soma de dois desses pares e a multiplicação de um par por um número são definidas da seguinte maneira: O primeiro exemplo acima reduz-se a esse se as setas forem representadas por um par de coordenadas cartesianas do seus pontos finais.
Definição
Neste artigo, os vetores são representados em negrito para distingui-los de escalares.[nota 1] Um espaço vetorial sobre um corpo K é um conjunto V munido de duas operações que satisfazem os oito axiomas abaixo. Elementos de V são normalmente denominados vetores. Elementos de K são comumente denominados escalares. Nos dois exemplos acima, o corpo utilizado é o corpo dos números reais e o conjunto de vetores consiste das setas planas com um ponto fixo de início e de pares de números reais, respectivamente. Para qualificar um conjunto como sendo um espaço vetorial, ele V e suas operações de adição e multiplicação devem obedecer às condições impostas a seguir, denominadas axiomas. Na lista abaixo, sejam u, v e w vetores arbitrários de V, e a e b escalares em K.
Formulações alternativas e consequências elementares
A adição de vetores e a multiplicação por escalar são operações que satisfazem a propriedade de fechamento: u + v e av pertencem a V para todo a em K, e u, v em V. Algumas referências mais antigas mencionam essas propriedades como axiomas separados. No linguajar da álgebra abstrata, os primeiros quatro axiomas são equivalentes a requerer que o conjunto de vetores seja um grupo abeliano sob adição. Os axiomas restantes dão a esse a estrutura de módulo sobre K. Em outras palavras, existe um homomorfismo de anéis f do corpo K para o anel de endomorfismo do grupo de vetores. A multiplicação por escalar av é então definida como (f(a))(v). Há várias outras consequências diretas dos axiomas de espaço vetorial. Algumas delas são derivadas teoria dos grupos elementar, aplicada ao grupo aditivo de vetores: por exemplo, o vetor nulo 0 de V e o inverso aditivo −v de um vetor v são únicos. Outras propriedades seguem ao empregar também a lei de distributividade da multiplicação por escalar; por exemplo, av é igual a 0 se e somente se a é igual a 0 ou v é igual a 0.
Espaços vetoriais têm sua origem no ramo da geometria afim, surgindo a partir da introdução de coordenadas no plano ou no espaço tridimensional. Por volta de 1636, os matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat forneceram as bases da geometria analítica ao identificar soluções de uma equação a duas variáveis com pontos em uma curva plana. Para obter soluções geométricas sem utilizar-se de coordenadas, Bolzano introduziu, em 1804, certas operações com pontos, linhas e planos; hoje, esses objetos podem ser vistos como antecessores de vetores. Esse trabalho foi utilizado por Möbius em 1827 para introduzir o conceito de coordenadas baricêntricas. A fundação para a definição de vetores foi a noção de Bellavitis de um "duplo ponto" ("bipoint"), um segmento orientado em que uma das extremidades é a origem e a outra é um alvo. Vetores foram repensados com a apresentação de números complexos por Argand e Hamilton, e pela criação dos quaterniões pelo último. Eles são elementos em R2 e R4; o tratamento deles utilizando combinações lineares remete a Laguerre em 1867, que também definiu sistema de equações lineares.
Espaço do vetor nulo
Seja V {\displaystyle V} formado por um único elemento a . {\displaystyle a.} Então, definindo-se a + a = a {\displaystyle a+a=a} e k ⋅ a = a {\displaystyle k\cdot a=a} para todo elemento k {\displaystyle k} de um corpo K , {\displaystyle K,} temos que V {\displaystyle V} é um espaço vetorial com K {\displaystyle K} como corpo de escalares. Obviamente, como a {\displaystyle a} é o elemento neutro de V , {\displaystyle V,} isto é, a = 0 , {\displaystyle a=0,} este espaço vetorial é representado por V = 0 . {\displaystyle V={0}.}
Espaços de coordenada
O exemplo mais simples de um espaço vetorial sobre um corpo K é o próprio corpo, equipado com suas adição e multiplicação padrão. De forma mais geral, todas n-uplas (sequências de comprimento n) de elementos do corpo K formam um espaço vetorial que é usualmente denotado por Kn e chamado de espaço de coordenadas. O caso n = 1 é o caso mais simples mencionado acima, no qual o corpo K também é percebido como um espaço vetorial sobre si mesmo. O caso K = R e n = 2 foi discutido na introdução acima.
Números complexos e outras extensões de corpos
O conjunto de números complexos C (isto é, números que podem ser escritos na forma x + iy, para números reais x e y, em que i é a unidade imaginária) formam um espaço vetorial sobre os reais com a adição e a multiplicação definidas usualmente: (x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b) e c ⋅ (x + iy) = (c ⋅ x) + i(c ⋅ y) para números reais x, y, a, b e c. Os vários axiomas de um espaço vetorial seguem do fato de que as mesmas regras se mantêm para a aritmética dos números complexos. De fato, o exemplo dos números complexos é essencialmente o mesmo (isto é, é isomórfico) ao espaço vetorial de pares ordenados de números reais mencionado acima: se pensarmos no número complexo x + i y como uma representação do par ordenado (x, y) no plano complexo, então percebe-se que as regras de soma e multiplicação de escalares correspondem exatamente ao exemplo anterior.
Espaços funcionais
Funções de qualquer conjunto fixo Ω para um corpo K também formam espaços vetoriais, ao realizar adição e multiplicação por escalar ponto a ponto. Ou seja, a soma de duas funções f e g é a função (f + g) dada por e de modo semelhante para a multiplicação. Espaços funcionais desse tipo surgem em várias situações geométricas, quando Ω é a reta real ou um intervalo, ou outros subconjuntos de R. Muitas noções em topologia e análise, como continuidade, integrabilidade ou diferenciabilidade são bem comportadas em relação à linearidade: somas e múltiplos escalares de funções com essas propriedades ainda as preservam. Portanto, o conjunto dessas funções é um espaço vetorial. Elas são estudadas em maior detalhe usando métodos de análise funcional. Restrições algébricas também geram espaços vetoriais: o espaço vetorial K[x] é dado por funções polinomiais:
Equações lineares
Sistemas de equações lineares homogêneas estão proximamente relacionados com os espaços vetoriais vector spaces. Por exemplo, as soluções de são dadas por triplas com a arbitrário, de modo que b = a/2 e c = −5a/2. Elas formam um espaço vetorial: somas e múltiplos escalares de tais triplas precisam também satisfazer às mesmas razões entre as três variáveis; logo, elas também são soluções. Matrizes podem ser usadas para condensar várias equações lineares como acima em uma equação vetorial, a saber em que A = [ 1 3 1 4 2 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}} é a matriz que contém os coeficientes das equações que compõem o sistema, x é o vetor (a, b, c), Ax denota um produto matricial, e 0 = (0, 0) é o vetor nulo. De forma semelhante, as soluções de equações diferenciais lineares homogêneas formam espaços vetoriais. Por exemplo,
Bases permitem representar vetores como uma sequência de escalares denominados coordenadas ou componentes. Uma base é um conjunto (finito ou infinito) B = {bi}i ∈ I de vetores bi, que por conveniência são frequentemente indexados por um conjunto de índices I, que gera todo o espaço é linearmente independente. "Gerar todo o espaço" significa que qualquer vetor v pode ser expresso por uma soma finita (chamada de combinação linear) dos elementos da base: em que ak são escalares, chamados de coordenadas (ou de componentes) do vetor v em relação à base B, e bik (k = 1, ..., n) são os elementos de B. Independência linear significa que as coordenadas ak são univocamente determinadas para qualquer vetor no espaço vetorial. Por exemplo, os vetores de coordenadas e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), até en = (0, 0, ..., 0, 1), formam uma base de Kn, chamada de base canônica, já que qualquer vetor (x1, x2, ..., xn) pode ser expresso de forma única como uma combinação linear desses vetores:
A relação entre dois espaços vetoriais pode ser expressa como um mapeamento linear ou uma transformação linear. Elas são funções que refletem a estrutura do espaço vetorial — isto é, elas preservam soma e multiplicação por escalar: Um isomorfismo é uma transformação linear f : V → W tal que exista uma função inversa g : W → V, a qual é um mapeamento tal que as duas possíveis composições f ∘ g : W → W e g ∘ f : V → V sejam a função identidade. De forma equivalente, f é um-pra-um (injetora) e é sobre o contradomínio (sobrejetora). Se existir um isomorfismo entre V e W, os dois espaços são ditos isomórficos; eles então são essencialmente o mesmo espaço vetorial, já que todas as identidades válidas em V são, através de f, levadas a identidades semelhantes em W, e vice-versa através de g. Por exemplo, as "setas em um plano" e os "pares ordenados de números", que são cada qual um espaço vetorial, são isomórficos: uma seta v em um plano que sai da origem de algum sistema (fixo) de coordenadas pode ser expresso por um par ordenado de números ao considerar as componentes x e y da seta, como mostrado na imagem ao lado. Por outro lado, dado um par (x, y), a seta que está à direita pela quantidade x (ou à esquerda, se x for negativo), e está para cima pela quantidade y (ou para baixo, se y for negativo) retorna a seta v.
Matrizes
Matrizes são uma noção útil para representar transformações lineares. Elas são escritas como uma tabela retangular de escalares (imagem ao lado). Qualquer matriz A m-por-n gera um mapeamento linear de Kn para Km da seguinte maneira: ou, usando multiplicação de matrizes de A com o vetor de coordenadas x: Ademais, após escolher bases de V e de W, qualquer transformação linear f : V → W é representada de forma única por uma matriz através desse procedimento. O determinante det (A) de uma matriz quadrada A é um escalar que diz se o mapeamento associado à matriz é um isomorfismo ou não: para isso, é suficiente e necessário que o determinante seja não nulo. A transformação linear de Rn que corresponde a uma matriz n-by-n real preserva a orientação se e somente se seu determinante for positivo.
Autovetores e autovalores
Endomorfismos, aplicações lineares do tipo f : V → V, são particularmente importantes já que nesse caso vetores v podem ser comparados com a sua imagem sob f, f(v). Qualquer vetor não nulo v que satisfaz a condição λv = f(v), em que λ é um escalar, é denominado autovetor de f com autovalor λ. De maneira equivalente, v é um elemento do núcleo da diferença f − λ · Id (em que Id é a função identidade V → V). Se V tem dimensão finita, essa afirmação pode ser reformulada usando determinantes: f ter um autovalor λ é equivalente a Ao desenvolvê-la através da definição de determinante, a expressão à esquerda pode ser analisada enquanto função polinomial de variável λ, chamada de polinômio característico de f. Se o corpo K for abrangente o suficiente para conter uma raiz desse polinômio (o que acontece automaticamente quando K for algebricamente fechado, tal como K = C), qualquer aplicação linear tem pelo menos um autovetor. O espaço vetorial V pode ou não possuir uma base de autovetores. Esse fenômeno é regido pela forma canônica de Jordan da aplicação.[nota 5] O conjunto de todos os autovetores associados a um certo autovalor de f forma um espaço vetorial conhecido como autoespaço. Para alcançar o teorema espectral, a afirmação correspondente do caso em que a dimensão é infinita, as ferramentas da análise funcional são necessárias.
Além dos exemplos concretos citados anteriormente, existem várias construções de álgebra linear padrão que acarretam espaços vetoriais a outros previamente fornecidos. Eles também são caracterizados pelas propriedades universais, que determinam um objeto X ao especificar as transformações lineares dele para qualquer outro espaço vetorial.
Subespaços e espaços quociente
Um subconjunto não-vazio W de um espaço vetorial V que é fechado sob adição e multiplicação por escalar (e portanto contém o vetor nulo 0 de V) é chamado de subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, quando o objeto em questão for, de forma não ambígua, um espaço vetorial.[nota 6] Subespaços de V são espaços vetoriais próprios (sobre o mesmo corpo). A interseção de todos os subespaços contendo um determinado conjunto S de vetores é denominado como seu espaço vetorial gerado (ou, ainda, ger ou span), e é o menor subespaço de V contendo o conjunto S. Expressado em termos de elementos, o span é o subespaço que contém todas as combinações lineares dos elementos de S.
Produto direto e soma direta
O produto direto de espaços vetoriais e a soma direta de espaços vetoriais são duas maneiras de combinar uma família indexada de espaços vetoriais em um novo espaço vetorial. O produto direto ∏ i ∈ I V i {\displaystyle \textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}} de uma família de espaços vetoriais Vi consiste em um conjunto de todas as ênuplas (vi)i ∈ I, que especificam para cada índice i em algum conjunto de índices I um elemento vi de Vi. Adição e multiplicação por escalar são realizadas componente a componente. Uma variação dessa construção é a soma direta ⊕ i ∈ I V i {\displaystyle \oplus _{i\in I}V_{i}} (também chamada coproduto e denotada por ∐ i ∈ I V i {\displaystyle \textstyle {\coprod _{i\in I}V_{i}}} ), em que somente as ênuplas com um número finito de vetores nulos são permitidas. Se o conjunto de índices I é finito, as duas construções são a mesma; porém, de forma mais geral, elas são distintas.
Produto tensorial
O produto tensorial V ⊗F W, ou simplesmente V ⊗ W, de dois espaços vetoriais V e W é uma das noções centrais da álgebra multilinear, que lida com noções estendidas como a de transformações lineares a várias variáveis. Um mapeamento g : V × W → X é chamado de bilinear se g é linear em ambas as variáveis v e w. Isto é, para um w fixo o mapa v ↦ g(v, w) é linear no sentido acima; isso então também é válido para um v fixo. O produto tensorial é um espaço vetorial particular que é um receptor universal de mapeamentos bilineares g, como a seguir. Ele é definido como um espaço vetorial que consiste de somas (formais) finitas de símbolos chamados de tensores
Do ponto de vista da álgebra linear, os espaços vetoriais são completamente compreendidos na medida em que qualquer espaço vetorial é caracterizado, de modo isomórfico, pela sua dimensão. Contudo, espaços vetoriais por si só não oferecem um escopo no qual é possível responder à questão — essencial para análise — de quando, ou se, uma série de funções converge para outra função. Da mesma forma, a álgebra linear não é adaptada para lidar com séries infinitas, já que a operação de adição permite somente a soma de um número finito de termos. Assim, as demandas do ramo da análise funcional fazem com que sejam considerados espaços vetoriais com estrutura adicional. Um espaço vetorial pode ser parcialmente ordenado ≤, de modo que certos vetores possam ser comparados. Por exemplo, um espaço vetorial real n-dimensional Rn pode ser ordenado ao se comparar os vetores componente à componente. Espaços vetoriais ordenados, como os espaços de Riesz, são fundamentais para a formulação da integral de Lebesgue, que requer que uma função qualquer seja expressa como a diferença de duas funções positivas
Espaços vetoriais normados e com produto interno
O processo de "medida" de vetores é feito ao se especificar uma norma, uma função que mede o comprimento de um vetor, ou definindo um produto interno, que mede ângulos entre vetores. Normas e produtos internos são denotados por | v | {\displaystyle |\mathbf {v} |} e ⟨ v , w ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle } , respectivamente. Espaços vetoriais dotados dessa estrutura são denominados espaços vetoriais normados e espaços com produto interno, respectivamente. É possível obter uma norma a partir de um produto interno, definindo-a como | v | := ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}} .
Espaços vetoriais topológicos
Questões de convergência são tratadas ao considerar espaços vetoriais que comportem uma topologia compatível, uma estrutura que permite descrever pontos como sendo próximos uns dos outros. A compatibilidade significa que a adição e a multiplicação por escalar precisam ser mapas contínuos. Em resumo, se x e y em um espaço vetorial V e a no corpo K variarem por uma quantidade limitada, então x + y e ax variam limitadamente.[nota 8] Para dar sentido em especificar o quanto um escalar varia, o corpo K também precisa carregar uma topologia nesse contexto; opções comuns de corpos são o dos números reais e o dos números complexos. Nesses espaços vetoriais topológicos é possível considerar série de vetores. A soma infinita
