Felix Klein
Felix Christian Klein foi um matemático, educador matemático e historiador da matemática alemão, conhecido por seu trabalho em teoria dos grupos, análise complexa, geometria não euclidiana, e as associações entre geometria e teoria dos grupos. Seu programa de Erlangen de 1872 classificou geometrias por seus grupos de simetria básicos e foi uma síntese influente de grande parte da matemática da época.
Felix Klein nasceu em 25 de abril de 1849 em Düsseldorf, de pais prussianos. Seu pai, Caspar Klein (1809–1889), era secretário de um funcionário do governo prussiano estacionado na Província do Reno. Sua mãe era Sophie Elise Klein (1819–1890, nome de solteira Kayser). Frequentou o Gymnasium em Düsseldorf, depois estudou matemática e física na Universidade de Bonn, 1865–1866, pretendendo tornar-se físico. Naquela época, Julius Plücker tinha a cátedra de matemática e física experimental de Bonn, mas quando Klein tornou-se seu assistente, em 1866, o interesse de Plücker era principalmente geometria. Klein recebeu seu doutorado, supervisionado por Plücker, da Universidade de Bonn em 1868. Plücker morreu em 1868, deixando seu livro sobre a base da geometria de linhas incompleto. Klein era a pessoa óbvia para completar a segunda parte do Neue Geometrie des Raumes de Plücker, e assim conheceu Alfred Clebsch, que havia se mudado para Göttingen em 1868. Klein visitou Clebsch no ano seguinte, junto com visitas a Berlim e Paris. Em julho de 1870, no início da Guerra Franco-Prussiana, ele estava em Paris e teve que deixar o país. Por um breve período serviu como enfermeiro no exército prussiano antes de ser nomeado Privatdozent (professor) em Göttingen no início de 1871. A Universidade de Erlangen nomeou Klein professor em 1872, quando ele tinha apenas 23 anos. Para isso, foi endossado por Clebsch, que o considerava como provável de tornar-se o melhor matemático de seu tempo. Klein não desejava permanecer em Erlangen, onde havia muito poucos estudantes, e ficou contente em receber uma cátedra na Technische Hochschule München em 1875. Lá, ele e Alexander von Brill ensinaram cursos avançados para muitos excelentes estudantes, incluindo Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi e Gregorio Ricci-Curbastro. Em 1875, Klein casou-se com Anne Hegel, neta do filósofo Georg Wilhelm Friedrich Hegel. Depois de passar cinco anos na Technische Hochschule, Klein foi nomeado para uma cátedra de geometria na Universidade de Leipzig. Seus colegas incluíam Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study e Friedrich Engel. Os anos de Klein em Leipzig, 1880 a 1886, mudaram fundamentalmente sua vida. Em 1882, sua saúde entrou em colapso e ele lutou contra a depressão nos dois anos seguintes. Mesmo assim, sua pesquisa continuou; seu trabalho seminal sobre funções sigma hiperelípticas, publicado entre 1886 e 1888, data de cerca desse período.
A dissertação de Klein, sobre geometria de linhas e suas aplicações à mecânica, classificou complexos de linha de segundo grau usando a teoria dos divisores elementares de Weierstrass. As primeiras descobertas matemáticas importantes de Klein foram feitas em 1870. Em colaboração com Sophus Lie, descobriu as propriedades fundamentais das linhas assintóticas na superfície de Kummer. Mais tarde investigaram curvas W, curvas invariantes sob um grupo de transformações projetivas. Foi Lie quem introduziu Klein ao conceito de grupo, que teve um papel importante em seu trabalho posterior. Klein também aprendeu sobre grupos com Camille Jordan. Klein criou a "garrafa de Klein" que leva seu nome, uma superfície fechada unilateral que não pode ser incorporada no espaço euclidiano tridimensional, mas pode ser imersa como um cilindro curvado de volta através de si mesmo para unir-se à sua outra extremidade do "interior". Pode ser incorporada no espaço euclidiano de dimensões 4 e superiores. O conceito de Garrafa de Klein foi criado como uma fita de Möbius tridimensional, com um método de construção sendo a união das bordas de duas fitas de Möbius.
Programa de Erlangen
Em 1871, enquanto estava em Göttingen, Klein fez grandes descobertas em geometria. Publicou dois artigos Sobre a Assim Chamada Geometria Não Euclidiana mostrando que as geometrias euclidiana e não euclidiana poderiam ser consideradas espaços métricos determinados por uma métrica de Cayley–Klein. Esta percepção teve o corolário de que a geometria não euclidiana era consistente se e somente se a geometria euclidiana fosse, dando o mesmo status às geometrias euclidiana e não euclidiana, e encerrando toda controvérsia sobre geometria não euclidiana. Arthur Cayley nunca aceitou o argumento de Klein, acreditando que fosse circular. A síntese de Klein da geometria como o estudo das propriedades de um espaço que é invariante sob um dado grupo de transformações, conhecida como o programa de Erlangen (1872), influenciou profundamente a evolução da matemática. Este programa foi iniciado pela palestra inaugural de Klein como professor em Erlangen, embora não fosse o discurso real que ele deu na ocasião. O programa propôs um sistema unificado de geometria que se tornou o método moderno aceito. Klein mostrou como as propriedades essenciais de uma dada geometria poderiam ser representadas pelo grupo de transformações que preservam essas propriedades. Assim, a definição de geometria do programa englobava tanto a geometria euclidiana quanto a não euclidiana. Atualmente, a importância das contribuições de Klein para a geometria é evidente. Elas se tornaram tão parte do pensamento matemático que é difícil apreciar sua novidade quando apresentadas pela primeira vez, e entender o fato de que não foram imediatamente aceitas por todos os seus contemporâneos.
Análise complexa
Klein via seu trabalho em análise complexa como sua principal contribuição à matemática, especificamente seu trabalho sobre: Klein mostrou que o grupo modular move a região fundamental do plano complexo de modo a fazer tesselação do plano. Em 1879, examinou a ação do PSL(2,7), considerado como uma imagem do grupo modular, e obteve uma representação explícita de uma superfície de Riemann agora chamada de quártica de Klein. Mostrou que era uma curva complexa no espaço projetivo, que sua equação era x³y + y³z + z³x = 0, e que seu grupo de simetrias era PSL(2,7) de ordem 168. Sua Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale (1882) trata a análise complexa de uma forma geométrica, conectando teoria do potencial e mapeamentos conformes. Este trabalho baseou-se em noções da dinâmica dos fluidos. Klein considerou equações de grau > 4, e estava especialmente interessado em usar métodos transcendentais para resolver a equação geral do quinto grau. Baseando-se nos métodos de Charles Hermite e Leopold Kronecker, produziu resultados similares aos de Brioschi e mais tarde resolveu completamente o problema por meio do grupo icosaédrico. Este trabalho permitiu-lhe escrever uma série de artigos sobre funções modulares elípticas. Em seu livro de 1884 sobre o icosaedro, Klein estabeleceu uma teoria das funções automórficas, associando álgebra e geometria. Poincaré havia publicado um esboço de sua teoria de funções automórficas em 1881, o que resultou em uma rivalidade amigável entre os dois homens. Ambos procuraram enunciar e provar um grande teorema de uniformização que estabeleceria a nova teoria de forma mais completa. Klein conseguiu formular tal teorema e descrever uma estratégia para prová-lo. Chegou à sua prova durante um ataque de asma às 2h30 da manhã de 23 de março de 1882. Klein resumiu seu trabalho sobre funções automórficas e funções modulares elípticas em um tratado de quatro volumes, escrito com Robert Fricke ao longo de um período de cerca de 20 anos.
