Função analítica
Em matemática, uma função analítica é uma função que pode ser localmente expandida em séries de Taylor. Grosseiramente falando, funções analíticas são uma família mais ampla que a das funções polinomiais mas que ainda preserva certas propriedades destes. Classicamente falando, existem funções analíticas reais e funções analíticas complexas. O desenvolvimento da análise funcional ao longo do século XX levou ao surgimento de teorias de funções analíticas que assumem valores em um espaço de Banach complexo arbitrário.
Seja D {\displaystyle D} um conjunto aberto na reta e f : D → R {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} } uma função infinitamente derivável (ou seja, uma função suave (de classe C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} )). Diz-se que f {\displaystyle f} é analítica se para cada ponto x 0 {\displaystyle x_{0}} ∈ D {\displaystyle D} , existir uma vizinhança V x 0 ⊆ D {\displaystyle V_{x_{0}}\subseteq D} de x 0 {\displaystyle x_{0}} tal que
Seja D {\displaystyle D} um conjunto aberto no plano complexo e f : D → C {\displaystyle f:D\to \mathbb {C} } uma função infinitamente diferenciável. f {\displaystyle f} é dita analítica se para cada ponto x 0 ∈ D {\displaystyle x_{0}\in D} , se existir uma vizinhança V x 0 ⊆ D {\displaystyle V_{x_{0}}\subseteq D} de x 0 {\displaystyle x_{0}} tal que
Existem algumas diferenças entre funções analíticas complexas e funções analíticas reais. Considere por exemplo a função: f ( x ) = sin ( x ) {\displaystyle f(x)=\sin(x)} esta função é analítica em toda a reta como função real e analítica em todo o plano como função complexa. Observe no entanto que esta função é limitada na reta mas não o é no plano complexo. De fato, o teorema de Liouville garante que as únicas funções analíticas em todo o plano e limitadas são constantes.
É possível construir funções reais infinitamente diferenciáveis mas que não são analíticas. Vários contra-exemplos são construídos a partir de funções do tipo f ( x ) = exp ( − 1 / x ) {\displaystyle f(x)=\exp(-1/x)} para x > 0 {\displaystyle x>0} . Pode-se provar que esta função (analítica) tem a notável propriedade que Então, a função de domínio real g ( x ) = f ( x ) se x > 0 , g ( x ) = 0 se x ≤ 0 {\displaystyle g(x)=f(x){\mbox{ se }}x>0,g(x)=0{\mbox{ se }}x\leq 0} é infinitamente diferenciável, mas não é analítica.
