Functor
Na matemática, mais precisamente teoria das categorias, um functor ou funtor é um mapeamento entre categorias, preservando domínios, contradomínios, identidades e composições, analogamente a como, por exemplo, um homomorfismo de grupos preserva o elemento neutro e a operação do grupo.
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Dadas categorias C e D, um functor de C até D, escrito F : C → D, consiste Chama-se esse F : C → D mais explicitamente de functor covariante. Há, também, o conceito de functor contravariante[nota 1] de C até D, atribuindo, a cada morfismo f : x → y, um morfismo G(f) : F(y) → F(x), satisfazendo G(1x) = 1G(x) e G(g ∘ f) = G(f) ∘ G(g); os functores contravariantes de C até D estão em correspondência biunívoca com os functores covariantes Cop → D, em que Cop denota a categoria oposta a C. Por vezes, em vez de se dizer que F é functor (covariante ou contravariante), diz-se que a atribuição x ↦ F(x) é functorial.
Bifunctor
Um bifunctor é um functor cujo domínio é um produto de categorias B × C. Dado bifunctor F : B × C → D e objeto c ∈ C, o functor F(–, c) : B → D é definido por: F ( − , c ) ( b → f b ′ ) = F ( ( b , c ) → ( f , 1 c ) ( b ′ , c ) ) . {\displaystyle F(-,c)(b{\xrightarrow {f}}b')=F((b,c){\xrightarrow {(f,1_{c})}}(b',c)).} De forma análoga, há o functor F(b, –) : C → D.
Categoria de categorias e functores
Para cada U universo de Grothendieck, há a categoria U - C a t {\displaystyle U{\text{-}}{\mathsf {Cat}}} (ou, brevemente, C a t {\displaystyle {\mathsf {Cat}}} ) cujos objetos são as categorias que pertencem a U e cujos morfismos são os functores entre essas categorias. Um conceito similar é a categoria de functores DC, cujos objetos são os functores C → D, e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.
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Seja C {\displaystyle C} uma categoria. Denotando-se por Set {\displaystyle {\textsf {Set}}} uma categoria de conjuntos suficientemente grande, há functor h o m : C o p × C → Set {\displaystyle \mathrm {hom} :C^{\mathrm {op} }\times C\rightarrow {\textsf {Set}}} em que h o m ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {hom} (X,Y)} é o conjunto de morfismos X → Y {\displaystyle X\rightarrow Y} , e, dados f : X ′ → X {\displaystyle f:X'\rightarrow X} , g : Y → Y ′ {\displaystyle g:Y\rightarrow Y'} morfismos em C {\displaystyle C} , h o m ( f , g ) = g ∘ - ∘ f = ( k ↦ g ∘ k ∘ f ) : h o m ( X , Y ) → h o m ( X ′ , Y ′ ) . {\displaystyle \mathrm {hom} (f,g)=g\circ {\text{-}}\circ f=(k\mapsto g\circ k\circ f):\mathrm {hom} (X,Y)\rightarrow \mathrm {hom} (X',Y').}
