Geometria euclidiana

A geometria euclidiana teve sua origem com o grande matemático Euclides de Alexandria.[carece de fontes?] Nascido aproximadamente em 330 a.C. na Síria, ele realizou seus estudos na cidade de Atenas onde frequentou a Academia de Platão. A pedido do rei, Ptolomeu I governante do Egito entre 323 a.C. à 283 a.C. foi convidado a estudar Matemática na academia de Alexandria também conhecida como “Museu”. Com o passar do tempo ganhou destaque pela forma que ele ensinava Geometria e Álgebra. Essas disciplinas já eram de conhecimento pelos matemáticos anteriores a Euclides, porém ele fez um estudo mais aprofundado dos conteúdos, os organizou de forma lógica e as condensou, instituindo a característica grega do Rigor Científico e criando uma das maiores obras primas da Matemática, denominada “Os Elementos”. Esta obra é constituída por treze livros que contemplam tópicos como aritmética, geometria e álgebra.

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A geometria euclidiana tem sua base em axiomas e postulados. Para Aristóteles, axiomas são verdades incontestáveis aplicadas a todas as ciências e os postulados eram verdades sobre um determinado tema (neste caso, a geometria) e foi assim também usado por Euclides. Ao todo, são dez proposições que utilizam os conceitos de ponto, intermediação e congruência. Toda geometria que satisfaz a todos eles é considerada euclidiana. Os axiomas não são passíveis de demonstração por serem evidentemente verdadeiros. Os postulados surgem com o desenvolvimento dos axiomas e, se provados verdadeiros, são considerados teoremas.

Euclides fez algumas definições para que a geometria tivesse sentido e pudesse provar suas proposições, no total foram 23 definições: A partir dessas definições, dos axiomas e postulados, Euclides fez várias demonstrações. Vejamos como ele demonstrou as seguintes proposições: “Seja a reta limitada dada AB. É preciso, então, sobre a reta AB construir um triângulo equilátero. Fique descrito, por um lado, com o centro A, e por outro lado, com a distância AB, o circulo BCD, e, de novo, fique descrito, por um lado, com o centro B, e, por outro lado, com a distancia BA, o circulo ACE, e, a partir do ponto C, no qual os círculos se cortam, até os pontos A, B, fiquem ligadas as retas CA, CB. E, como o ponto A é centro do circulo CDB, a AC é igual à AB; de novo, como o ponto B é centro do circulo CAE, a BC é igual à BA. Mas a CA foi também provada igual à AB; portanto, cada uma das CA, CB é igual à AB. Mais as coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si; portanto, também a CA é igual à CB, portanto, as três CA, AB, BC são iguais entre si.

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O quinto postulado da geometria euclidiana por muitos anos foi alvo de tentativas de prova por vários matemáticos, porém essa demonstração jamais foi alcançada. As tentativas tinham o intuito de demonstrá-lo sem o auxílio de outra proposição que utilizava o mesmo princípio, logo abaixo está a tentativa de Nasiredin, (1201 - 1274), ou Nasir Eddin al-Tusi, astrônomo e matemático persa, que compilou uma versão árabe dos Elementos de Euclides: ”ele parece ter sido o primeiro a dirigir sua atenção para a importância, no estudo do Quinto Postulado, do teorema da soma dos ângulos de um triângulo”. Inicialmente, Nasiredin considera, sem provar, a seguinte afirmação: Sejam os pontos A e B, respectivamente, sobre as retas r e s, de modo que AB é perpendicular à r e forma um ângulo agudo α com s. Então as perpendiculares baixadas de s sobre r dos lado do ângulo agudo, são menores que AB, e as perpendiculares baixadas do outro lado são maiores que AB. Além disto os ângulos que essas perpendiculares formam com s na mesma direção de α são também agudos. Esta afirmação significa que EF > AB > CD, e os ângulos β e γ são agudos.