Grupo abeliano
Na matemática, um grupo abeliano, também chamado de grupo comutativo, é um grupo no qual o resultado da aplicação da operação de grupo a dois elementos do grupo não depende da ordem em que eles são escritos. Ou seja, a operação de grupo é comutativa. Com a adição como operação, os inteiros e os reais formam grupos abelianos, e o conceito de um grupo abeliano pode ser visto como uma generalização desses exemplos. Os grupos abelianos recebem esse nome em homenagem ao matemático norueguês Niels Henrik Abel.
Um grupo abeliano é um conjunto A {\displaystyle A} , juntamente com uma operação ⋅ , que combina quaisquer dois elementos a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} de A {\displaystyle A} para formar outro elemento de A {\displaystyle A} , denotado por a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} . O símbolo ⋅ é um marcador de posição geral para uma operação dada concretamente. Para se qualificar como um grupo abeliano, o conjunto e a operação, ( A , ⋅ ) {\displaystyle (A,\cdot )} , devem satisfazer quatro requisitos conhecidos como os axiomas de grupo abeliano (alguns autores incluem nos axiomas certas propriedades que pertencem à definição de uma operação: a saber, que a operação está definida para qualquer par ordenado de elementos de A, que o resultado é bem definido e que o resultado pertence a A): Um grupo no qual a operação de grupo não é comutativa é chamado de "grupo não abeliano" ou "grupo não comutativo".
Notação
Existem duas convenções principais de notação para grupos abelianos: aditiva e multiplicativa. Geralmente, a notação multiplicativa é a notação usual para grupos, enquanto a notação aditiva é a notação usual para módulos e anéis. A notação aditiva também pode ser usada para enfatizar que um grupo particular é abeliano, sempre que grupos abelianos e não abelianos forem considerados, com algumas exceções notáveis sendo os quase-anéis (near-rings) e os grupos parcialmente ordenados, onde uma operação é escrita de forma aditiva mesmo quando não é abeliana.
Tabela de multiplicação
Para verificar se um grupo finito é abeliano, uma tabela (matriz) — conhecida como tábua de Cayley — pode ser construída de maneira semelhante a uma tabela de multiplicação. Se o grupo for G = { g 1 = e , g 2 , … , g n } {\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}} sob a operação ⋅ {\displaystyle \cdot } , a entrada ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} desta tabela contém o produto g i ⋅ g j {\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}} . O grupo é abeliano se e somente se esta tabela for simétrica em relação à diagonal principal, o que significa que para todos os i , j = 1 , . . . , n {\displaystyle i,j=1,...,n} , a entrada ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} da tabela é igual à entrada ( j , i ) {\displaystyle (j,i)} . De fato, esta igualdade expressa que g i ⋅ g j = g j ⋅ g i . {\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}.}
Em geral, as matrizes, mesmo as matrizes invertíveis, não formam um grupo abeliano sob a multiplicação porque a multiplicação de matrizes geralmente não é comutativa. No entanto, alguns grupos de matrizes são grupos abelianos sob a multiplicação de matrizes — um exemplo é o grupo das matrizes de rotação 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} .
Camille Jordan nomeou os grupos abelianos em homenagem ao matemático norueguês Niels Henrik Abel, que havia descoberto que a comutatividade do grupo de um polinômio implica que as raízes do polinômio podem ser calculadas usando radicais.
Se n {\displaystyle n} for um número natural e x {\displaystyle x} for um elemento de um grupo abeliano G {\displaystyle G} escrito aditivamente, então n x {\displaystyle nx} pode ser definido como x + x + ⋯ + x {\displaystyle x+x+\cdots +x} ( n {\displaystyle n} parcelas) e ( − n ) x = − ( n x ) {\displaystyle (-n)x=-(nx)} . Desta forma, G {\displaystyle G} torna-se um módulo sobre o anel Z {\displaystyle \mathbb {Z} } dos inteiros. De fato, os módulos sobre Z {\displaystyle \mathbb {Z} } podem ser identificados com os grupos abelianos. Os teoremas sobre grupos abelianos (ou seja, módulos sobre o domínio de ideais principais Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ) podem frequentemente ser generalizados para teoremas sobre módulos sobre um domínio de ideais principais arbitrário. Um exemplo típico é a classificação dos grupos abelianos finitamente gerados, que é uma especialização do teorema de estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais. No caso de grupos abelianos finitamente gerados, este teorema garante que um grupo abeliano se divide como uma soma direta de um grupo de torção e um grupo abeliano livre. O primeiro pode ser escrito como uma soma direta de finitamente muitos grupos da forma Z / p k Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} } para p {\displaystyle p} primo, e o último é uma soma direta de finitamente muitas cópias de Z {\displaystyle \mathbb {Z} } .
Grupos cíclicos de inteiros módulo n {\displaystyle n} , Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } , estiveram entre os primeiros exemplos de grupos. Verifica-se que um grupo abeliano finito arbitrário é isomorfo a uma soma direta de grupos cíclicos finitos de ordem de potência prima, e essas ordens são determinadas de forma única, formando um sistema completo de invariantes. O grupo de automorfismos de um grupo abeliano finito pode ser descrito diretamente em termos desses invariantes. A teoria foi desenvolvida pela primeira vez no artigo de 1879 de Georg Frobenius e Ludwig Stickelberger e, mais tarde, foi simplificada e generalizada para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais, formando um capítulo importante da álgebra linear. Qualquer grupo de ordem prima é isomorfo a um grupo cíclico e, portanto, abeliano. Qualquer grupo cuja ordem é o quadrado de um número primo também é abeliano. De fato, para todo número primo p {\displaystyle p} existem (a menos de isomorfismo) exatamente dois grupos de ordem p 2 {\displaystyle p^{2}} , a saber, Z p 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{2}}} e Z p × Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}} .
Classificação
O teorema fundamental dos grupos abelianos finitos afirma que todo grupo abeliano finito G {\displaystyle G} pode ser expresso como a soma direta de subgrupos cíclicos de ordem de potência prima; também é conhecido como o teorema da base para grupos abelianos finitos. Além disso, os grupos de automorfismos de grupos cíclicos são exemplos de grupos abelianos. Isso é generalizado pelo teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados, sendo os grupos finitos o caso especial quando G tem posto zero; isso, por sua vez, admite inúmeras generalizações adicionais. A classificação foi provada por Leopold Kronecker em 1870, embora não tenha sido enunciada em termos modernos da teoria dos grupos até mais tarde, e foi precedida por uma classificação semelhante de formas quadráticas por Carl Friedrich Gauss em 1801; veja a história para mais detalhes.
Automorfismos
Pode-se aplicar o teorema fundamental para contar (e, às vezes, determinar) os automorfismos de um dado grupo abeliano finito G {\displaystyle G} . Para fazer isso, usa-se o fato de que se G {\displaystyle G} se divide como uma soma direta H ⊕ K {\displaystyle H\oplus K} de subgrupos de ordem coprima, então Dado isso, o teorema fundamental mostra que, para calcular o grupo de automorfismos de G {\displaystyle G} , é suficiente calcular os grupos de automorfismos dos p {\displaystyle p} -subgrupos de Sylow separadamente (ou seja, todas as somas diretas de subgrupos cíclicos, cada um com ordem igual a uma potência de p {\displaystyle p} ). Fixe um primo p {\displaystyle p} e suponha que os expoentes e i {\displaystyle e_{i}} dos fatores cíclicos do p {\displaystyle p} -subgrupo de Sylow estejam dispostos em ordem crescente:
Um grupo abeliano A é finitamente gerado se contiver um conjunto finito de elementos (chamados de geradores) G = { x 1 , … , x n } {\displaystyle G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}} tal que todo elemento do grupo é uma combinação linear com coeficientes inteiros de elementos de G. Seja L um grupo abeliano livre com base B = { b 1 , … , b n } . {\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.} Existe um único homomorfismo de grupos p : L → A , {\displaystyle p\colon L\to A,} tal que Este homomorfismo é sobrejetor, e o seu núcleo é finitamente gerado (uma vez que os inteiros formam um anel noetheriano). Considere a matriz M com entradas inteiras, tal que as entradas de sua j-ésima coluna são os coeficientes do j-ésimo gerador do núcleo. Então, o grupo abeliano é isomorfo ao conúcleo da transformação linear definida por M. Reciprocamente, toda matriz de inteiros define um grupo abeliano finitamente gerado.
O grupo abeliano infinito mais simples é o grupo cíclico infinito Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . Qualquer grupo abeliano finitamente gerado A {\displaystyle A} é isomorfo à soma direta de r {\displaystyle r} cópias de Z {\displaystyle \mathbb {Z} } e um grupo abeliano finito, o qual, por sua vez, é decomponível em uma soma direta de finitamente muitos grupos cíclicos com ordens de potência prima. Mesmo que a decomposição não seja única, o número r {\displaystyle r} , chamado de posto de A {\displaystyle A} , e as potências de primos que dão as ordens dos somandos cíclicos finitos são determinados de forma única. Em contraste, a classificação de grupos abelianos infinitamente gerados em geral está longe de ser completa. Os grupos divisíveis, ou seja, grupos abelianos A {\displaystyle A} nos quais a equação n x = a {\displaystyle nx=a} admite uma solução x ∈ A {\displaystyle x\in A} para qualquer número natural n {\displaystyle n} e elemento a {\displaystyle a} de A {\displaystyle A} , constituem uma classe importante de grupos abelianos infinitos que pode ser completamente caracterizada. Todo grupo divisível é isomorfo a uma soma direta, com somandos isomorfos a Q {\displaystyle \mathbb {Q} } e grupos de Prüfer Q p / Z p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}} para vários números primos p {\displaystyle p} , e a cardinalidade do conjunto de somandos de cada tipo é determinada de forma única. Além disso, se um grupo divisível A {\displaystyle A} é um subgrupo de um grupo abeliano G {\displaystyle G} , então A {\displaystyle A} admite um complemento direto: um subgrupo C {\displaystyle C} de G {\displaystyle G} tal que G = A ⊕ C {\displaystyle G=A\oplus C} . Assim, grupos divisíveis são módulos injetivos na categoria dos grupos abelianos e, reciprocamente, todo grupo abeliano injetivo é divisível (Critério de Baer). Um grupo abeliano sem subgrupos divisíveis não nulos é chamado de reduzido.
Grupos de torção
Um grupo abeliano é chamado de periódico ou de torção (ou ainda grupo com torção), se todo elemento tiver ordem finita. Uma soma direta de grupos cíclicos finitos é periódica. Embora a afirmação recíproca não seja verdadeira em geral, alguns casos especiais são conhecidos. O primeiro e o segundo teoremas de Prüfer afirmam que se A {\displaystyle A} for um grupo periódico e tiver um expoente limitado (isto é, n A = 0 {\displaystyle nA=0} para algum número natural n {\displaystyle n} ) ou for enumerável e as p {\displaystyle p} -alturas dos elementos de A {\displaystyle A} forem finitas para cada p {\displaystyle p} , então A {\displaystyle A} é isomorfo a uma soma direta de grupos cíclicos finitos. A cardinalidade do conjunto de somandos diretos isomorfos a Z / p m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} } em tal decomposição é um invariante de A {\displaystyle A} . Esses teoremas foram posteriormente englobados no critério de Kulikov. Em uma direção diferente, Helmut Ulm encontrou uma extensão do segundo teorema de Prüfer para p {\displaystyle p} -grupos abelianos enumeráveis com elementos de altura infinita: esses grupos são completamente classificados por meio de seus invariantes de Ulm.
Grupos livres de torção e mistos
Um grupo abeliano é chamado de livre de torção se todo elemento não nulo tiver ordem infinita. Várias classes de grupos abelianos livres de torção foram extensivamente estudadas: Um grupo abeliano que não é nem periódico nem livre de torção é chamado de misto. Se A {\displaystyle A} é um grupo abeliano e T ( A ) {\displaystyle T(A)} é o seu subgrupo de torção, então o grupo quociente A / T ( A ) {\displaystyle A/T(A)} é livre de torção. No entanto, em geral, o subgrupo de torção não é um somando direto de A {\displaystyle A} , de modo que A {\displaystyle A} não é isomorfo a T ( A ) ⊕ A / T ( A ) {\displaystyle T(A)\oplus A/T(A)} . Assim, a teoria dos grupos mistos envolve mais do que simplesmente combinar os resultados sobre grupos periódicos e livres de torção. O grupo aditivo Z {\displaystyle \mathbb {Z} } dos inteiros é um Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -módulo livre de torção.
Invariantes e classificação
Um dos invariantes mais básicos de um grupo abeliano infinito A {\displaystyle A} é o seu posto: a cardinalidade do subconjunto máximo linearmente independente de A {\displaystyle A} . Grupos abelianos de posto 0 são precisamente os grupos periódicos, enquanto os grupos abelianos livres de torção de posto 1 são necessariamente subgrupos de Q {\displaystyle \mathbb {Q} } e podem ser completamente descritos. Mais genericamente, um grupo abeliano livre de torção de posto finito r {\displaystyle r} é um subgrupo de Q r {\displaystyle \mathbb {Q} _{r}} . Por outro lado, o grupo dos inteiros p {\displaystyle p} -ádicos Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} é um grupo abeliano livre de torção de Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -posto infinito e os grupos Z p n {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}} com diferentes n {\displaystyle n} são não isomorfos, de modo que este invariante sequer captura totalmente as propriedades de alguns grupos familiares.
Grupos aditivos de anéis
O grupo aditivo de um anel é um grupo abeliano, mas nem todos os grupos abelianos são grupos aditivos de anéis (com multiplicação não trivial). Alguns tópicos importantes nesta área de estudo são:
Muitos grupos abelianos grandes possuem uma topologia natural, o que os transforma em grupos topológicos. A coleção de todos os grupos abelianos, juntamente com os homomorfismos entre eles, forma a categoria Ab {\displaystyle {\textbf {Ab}}} , o protótipo de uma categoria abeliana. Wanda Szmielew (1955) provou que a teoria de primeira ordem dos grupos abelianos, ao contrário de sua contraparte não abeliana, é decidível. A maioria das estruturas algébricas, com exceção das álgebras booleanas, é indecidível. Ainda existem muitas áreas de pesquisa atual: Além disso, os grupos abelianos de ordem infinita levam, de forma bastante surpreendente, a questões profundas sobre a teoria dos conjuntos comumente assumida como base para toda a matemática. Tome o problema de Whitehead: todos os grupos de Whitehead de ordem infinita são também grupos abelianos livres? Na década de 1970, Saharon Shelah provou que o problema de Whitehead é:
Os grupos abelianos finitos são classificados facilmente: eles são grupos cíclicos ou produtos diretos de grupos cíclicos.
