Grupo de Lie
Um grupo de Lie, que é simbolizado matematicamente pelo "L e/ou S"(de Sterling), é uma variedade diferenciável que admite uma estrutura de grupo onde as operações multiplicação e inversão são deriváveis. Este conceito foi introduzido em 1870 por Sophus Lie ao estudar certas propriedades das equações diferenciais, nesse conjunto figuram diversas funções de grau superior a unidade, hiperbólicas, senoides, e outras funções em diversos graus, que possibilitam ao cálculo da derivada. Inclusive com estudos das funções de grau inferior a unidade, que foram expostas nos seus trabalhos, intitulado na época de "Princípios e Processos para as Diferenciações". Tal livro(tese), foi editado em diversos idiomas a partir de 1870, em diversas edições. Inclusive atualizadas pelo autor a medida que aprofundava seus estudos.
Um Grupo de Lie é uma variedade G {\displaystyle G} suave que possui uma estrutura de Grupo, cujas operações de multiplicação e inversão são C ∞ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} , isto é μ : G × G → G , μ ( a , b ) = a b , {\displaystyle \mu :G\times G\to G,\mu (a,b)=ab,} ι : G → G , ι ( a ) = a − 1 {\displaystyle \iota :G\to G,\iota (a)=a^{-1}} são ambas C ∞ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} . A suavidade da operação de multiplicação significa que μ {\displaystyle \mu } é uma aplicação suave do produto de variedades G × G {\displaystyle G\times G} , para G {\displaystyle G} . De forma simplificada, podemos combinar as duas operações em um único mapa ( a , b ) ↦ a b − 1 {\displaystyle (a,b)\mapsto ab^{-1}} C ∞ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} entre G × G {\displaystyle G\times G} e G {\displaystyle G} .
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É possível mostrar que todo subgrupo fechado de G L ( n , k ) {\displaystyle GL(n,k)} também é grupo de Lie. Disto segue que U ( n ) , S U ( n ) , O ( n ) {\displaystyle U(n),SU(n),O(n)} e S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} são grupos de Lie para todo n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} . Em geral, os subgrupos fechados de G L ( n , k ) {\displaystyle GL(n,k)} são chamados de grupos de Lie clássicos.
Para que o proveito seja maior, definiremos o que é grupo de simetria e em seguida, utilizaremos o conceito por trás desta ideia para analisarmos as leis de movimento sob a ótica da mecânica clássica. Na teoria dos grupos o grupo de simetria é o grupo de todas as transformações sob as quais um objeto é invariável, dotado da operação de composição. Essa transformação “move” o objeto, mas preserva toda a sua estrutura relevante. Uma notação frequente para o grupo de simetria de um objeto X é G(X). Para um objeto em um espaço métrico, suas simetrias formam um subgrupo do grupo isometria do espaço ambiente. Para a simetria de objetos físicos, consideramos sua composição física como parte do modelo. (Um modelo ou padrão pode ser especificado formalmente, por exemplo, como um campo escalar, como um campo vetorial ou como uma função mais geral no objeto.). O grupo de simetria G(X) consiste nas isometrias que mapeiam X . Dizemos que X é invariante sob esse mapeamento, e o mapeamento é uma simetria de X.
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Se G {\displaystyle G} for uma variedade diferenciável de dimensão finita, existe uma construção que torna o espaço tangente à identidade de G {\displaystyle G} uma álgebra, e esta é a chamada álgebra de Lie associada a G {\displaystyle G} . Em termos da teoria de categorias, o functor que associa a cada grupo de Lie a sua álgebra de Lie é uma transformação natural. É possível mostrar que álgebra de Lie de um grupo de Lie G {\displaystyle G} é isomorfa à álgebra dos campos vetoriais sobre G {\displaystyle G} que são invariantes por translação. É sabido que para cada n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} , a álgebra de Lie associada ao grupo das matrizes n {\displaystyle n} por n {\displaystyle n} unitárias é a álgebra das matrizes n {\displaystyle n} por n {\displaystyle n} auto-adjuntas. Uma generalização deste fato para espaços de operadores limitados sobre espaços de Hilbert é de grande importância para a formulação matemática da Mecânica Quântica, e neste contexto, tal resultado é chamado de teorema de Stone.
