Harmônica
Em acústica e telecomunicações, a harmônica(pt-BR) ou harmónica(pt-PT?) de uma onda, ou frequência de ressonância, é a frequência específica de vibração que tem a propriedade de causar o fenômeno de ressonância em outros sistemas. Por definição, a frequência que causa a primeira ressonância de uma onda é chamada de frequência fundamental, e dela provêm os demais harmônicos.
As duas principais circunstâncias em que os harmônicos são visualizados mais facilmente são no comportamento de cordas vibrantes e de ondas em tubos sonoros. Isso se dá pelo fato de, em casos com esses, a onda encontrar-se limitada a um espaço fixo, o que provoca reflexões e interferências. Esse é o princípio das ondas estacionárias, correspondentes ao estudo dos harmônicos, formadas por interferência de ondas que se propagam em sentidos opostos. Tomando como exemplo uma corda de determinado comprimento e presa nas duas extremidades, pode-se facilmente observar o comportamento estacionário da onda ao provocar uma instabilidade na corda. A onda criada propaga-se pela corda até atingir as extremidades, e então, é refletida, provocando interferência com ela própria. Dessa maneira, é possível ter a configuração de onda estacionária dada pela imagem. Para o campo dos harmônicos, a onda estacionária também é chamada de modo de oscilação. O fato é que tais modos de oscilação só são formados quando a onda tem determinadas frequências e, nesse caso, ao formar-se a onda estacionária, é dito que a onda sofreu ressonância. Apenas frequências específicas, chamadas frequências de ressonância, fazem com que a onda estacionária seja formada e, consequentemente, haja ressonância. Caso a frequência seja diferente, a interferência das ondas refletidas não será tal a formar a onda estacionária, mas sim pequenas (muitas vezes, imperceptíveis) vibrações aleatórias no meio de propagação.
Denominação
A série harmônica ou espectro de ressonância, f n {\textstyle f_{n}} , é o conjunto de todas as frequências de ressonância f 1 , f 2 , f 3 , . . . , f n {\textstyle f_{1},f_{2},f_{3},\ ...\ ,f_{n}} das ondas que, ao interferirem após uma reflexão, sofrem ressonância. No campo da música, a série harmônica também corresponde às frequências, porém inclui sua relação com as notas musicais em diferentes alturas da extensão do som. O número harmônico, n {\textstyle n} , é o índice de determinada frequência. É conveniente dizer que n {\textstyle n} é o número referente ao enésimo harmônico. Assim, n = 1 {\textstyle n=1} refere-se ao primeiro harmônico, n = 2 {\textstyle n=2} refere-se ao segundo harmônico, e assim por diante.
Nós e antinós
Para o estudo dos harmônicos, é importante ressaltar que os nós (ou nodos) de uma onda são pontos onde o deslocamento transversal é nulo. Os antinós (ou antinodos) são pontos de deslocamento transversal máximo. Ao analisar as extremidades de uma onda estacionária, verifica-se que, se a extremidade é fixa, nela, a onda apresenta um nó; se a extremidade é livre, nela, a onda apresenta um antinó. Essa abordagem será útil na concepção dos diferentes casos de harmônicos, explicitada a seguir.
Como os harmônicos estão relacionados às ondas estacionárias, que dependem da interferência de ondas refletidas nas extremidades, é possível verificar três casos particulares de seu comportamento: A primeira situação é mais comumente verificada em cordas vibrantes, e as duas últimas, em tubos sonoros. Entretanto, a análise das grandezas da onda é feita da mesma forma para os três casos. Os resultados abaixo são conhecidos como condição para onda estacionária, pois as equações seguintes são aplicáveis a casos tais que a onda é estacionária, e ocorre ressonância.
Duas extremidades fixas
Nesse caso, vamos supor que a onda, senoidal, está se propagando numa corda esticada que está presa nas duas extremidades. A corda tem comprimento L {\textstyle L} . Pelo fato de as extremidades estarem fixas, elas não podem oscilar, o que implica que, nas extremidades, estão nós da onda. A mais simples configuração possível nessa condição é ter um antinó no centro da corda. Como o comprimento de onda λ {\textstyle \lambda } é a distância entre duas cristas ou dois vales consecutivos, é notável que, para essa configuração, L = λ 2 ⇒ λ = 2 L {\textstyle L={\frac {\lambda }{2}}\quad \Rightarrow \quad \lambda =2L} . Ampliando a abordagem, se a onda tiver dois antinós entre as extremidades, teremos uma oscilação completa no comprimento da corda. Nessa configuração, tem-se L = λ ⇒ λ = L = 2 L 2 {\textstyle L=\lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda =L={\frac {2L}{2}}} . Verificando o comportamento da onda com três antinós, é visível uma oscilação completa e meia oscilação entre as duas extremidades, o que fornece L = 3 λ 2 ⇒ λ = 2 L 3 {\textstyle L={\frac {3\lambda }{2}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ={\frac {2L}{3}}}
Duas extremidades livres
Nesse caso, vamos supor que a onda tratada é uma onda sonora que propaga-se no interior de um tubo de comprimento L {\textstyle L} . Mesmo que a onda seja longitudinal, o comprimento de onda λ {\textstyle \lambda } também é a distância entre duas cristas ou vales consecutivos. A análise, portanto, é semelhante. Assim como em uma corda, as ondas sonoras do interior de um tubo possuem nós e antinós, e sofrem reflexões nas extremidades. As extremidades abertas do tubo são como extremidades livres de uma corda presa a um anel que movimenta-se livremente. Uma onda na corda, ao propagar-se até uma extremidade livre, tem deslocamento máximo na extremidade em questão. Portanto, na extremidade livre, a onda apresentará um antinó ao refletir-se: o mesmo ocorre em tubos sonoros com uma extremidade aberta.
Uma extremidade livre e uma extremidade fixa
Pelo que exposto no caso anterior, nesse caso, como uma das extremidades está fixa, nela, a onda estacionária apresenta, necessariamente, um nó. Na extremidade livre ou aberta, ela deve apresentar, necessariamente, um antinó. A configuração mais simples, para esse terceiro caso, é a que, partindo-se do nó da onda, na extremidade fixa, o próximo antinó seja justamente o da extremidade livre. Nesse caso, verifica-se que λ = 4 L {\textstyle \lambda =4L} . As configurações seguintes, sempre respeitando o nó de uma extremidade e o antinó de outra, teremos λ = 4 L 3 {\textstyle \lambda ={\frac {4L}{3}}} , seguido de λ = 4 L 5 {\textstyle \lambda ={\frac {4L}{5}}} , λ = 4 L 7 {\textstyle \lambda ={\frac {4L}{7}}} , λ = 4 L 9 {\textstyle \lambda ={\frac {4L}{9}}} , e assim por diante indefinidamente. Observa-se que o comprimento de onda, nesse caso, é dado por:
Síntese das equações de harmônicos
f = f n = n v 2 L , n = k , k ∈ N ∗ → {\textstyle f=f_{n}={\cfrac {nv}{2L}},\qquad n=k,\quad k\in \mathbb {N} ^{*}\qquad \rightarrow \qquad } Frequências de ressonância para duas extremidades fixas ou duas extremidades livres. f = f n = n v 4 L , n = 1 + 2 k , k ∈ N → {\textstyle f=f_{n}={\cfrac {nv}{4L}},\qquad n=1+2k,\quad k\in \mathbb {N} \qquad \rightarrow } Frequências de ressonância para uma extremidade fixa. f n = n ⋅ f 1 → {\textstyle f_{n}=n\cdot f_{1}\qquad \rightarrow } Relação entre uma frequência de ressonância qualquer f n {\textstyle f_{n}} e a frequência fundamental f 1 {\displaystyle f_{1}} , dada quando n = 1 {\textstyle n=1} em qualquer caso. O número harmônico n {\textstyle n} segue sempre as restrições aplicadas na equação das frequências de ressonância dadas acima.
Uma das áreas de estudo da teoria da música é a Harmonia, que estuda as relações intervalares e as proporções dos acordes, suas sucessões e as notas que os compõe. A física por trás dos harmônicos é apenas adaptada a termos musicais na área da Harmonia. O conjunto de frequências, f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , . . . {\textstyle f_{1},f_{2},f_{3},f_{4},...} , está relacionado a determinados sons na escala, e é chamado de série harmônica. A importância desse assunto à música é que, a partir dessa série, é possível obter uma relação de intervalos e sons gerados a partir do som gerador, que é, justamente, a base para o estudo dos acordes, do contratempo e, consequentemente, da harmonia. Por definição, som gerador é o som da frequência fundamental. Fisicamente, é o som da frequência f 1 {\textstyle f_{1}} , e os próximos sons da série harmônica serão múltiplos inteiros dessa frequência. A esses próximos sons dá-se o nome de sons harmônicos, sobretons ou sons concomitantes.
Exemplo
Utilizando um piano, instrumento de grande extensão, como exemplo, temos que o som é gerado por cordas vibrantes. Logo, as frequências são dadas por: f = n v 2 L = n 2 L ⋅ τ μ {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}={\frac {n}{2L}}\cdot {\sqrt {\frac {\tau }{\mu }}}} Percebe-se que, para um instrumento de cordas, a frequência do som depende não apenas do tamanho da corda, mas também da tensão aplicada a ela e de sua massa específica linear. Em um piano, por exemplo, as cordas têm diferentes comprimentos, diferentes tensões aplicadas nas extremidades e diferentes espessuras, o que, consequentemente, fornece diferentes sons para cada corda ou conjunto de cordas vibrantes. Entretanto, isso não influencia as notas musicais da série harmônica formada, como exposto a seguir.
Análise intervalar dos acordes
Para trabalhar com intervalos e notas musicais, analisa-se apenas os primeiros harmônicos. Analisando até o 9º harmônico, é possível ter as notas de formação de alguns dos acordes consonantes e dissonantes. Ao analisar as notas da série harmônica do Dó1(imagem ao lado), conclui-se que: A partir disso, é possível analisar os próximos elementos da série e ter a formação de qualquer acorde e sua relação intervalar. Com isso, nasce o estudo da Harmonia, dos intervalos e da formação dos acordes, que é bastante ampla e complexa dentro da teoria musical moderna.
