Hessiano

Dada uma função real de n variáveis reais f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , x 3 . . . , x n ) , {\displaystyle f(\mathbf {x} )=f({x_{1}},{x_{2}},{x_{3}}...,x_{n}),} sendo que x (em negrito) indica o vetor de dimensão n × 1 {\displaystyle n\times 1} das variáveis x 1 , x 2 , x 3 . . . , x n . {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}...,x_{n}.} Lembre-se da notação para as derivadas parciais da função em relação às variáveis: Se todas as derivadas parciais de "f" existirem, então a matriz hessiana de f é a matriz quadrada das derivadas de segunda ordem de f: H [ f ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n ) ] = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x n 2 ] {\displaystyle H\left[f({x_{1}},{x_{2}},{x_{3}},...,x_{n})\right]={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}\,\partial {x_{2}}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}\,\partial x_{n}}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}\,\partial {x_{1}}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}\,\partial x_{n}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial {x_{1}}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial {x_{2}}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}}

∂ ∂ x 1 ( ∂ f ∂ x 2 ) = {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x_{1}}}}\left({\frac {\partial f}{\partial {x_{2}}}}\right)=} ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{1}}\,\partial {x_{2}}}}} = ∂ ∂ x 2 ( ∂ f ∂ x 1 ) = {\displaystyle ={\frac {\partial }{\partial {x_{2}}}}\left({\frac {\partial f}{\partial {x_{1}}}}\right)=} ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}\,\partial {x_{1}}}}} Para variáveis genéricas xi e xj, esta igualdade pode ser rescrita como: ∂ x i x j f = ∂ x j x i f {\displaystyle \partial _{x_{i}x_{j}}f=\partial _{x_{j}x_{i}}f}

Se o gradiente da função f é zero em um ponto x que pertence ao domínio da função, então f em x possui um ponto crítico. O determinante do hessiano em x é chamado de discriminante em x. Se este determinante for zero, x será chamado de ponto crítico degenerado de f. Do contrário, o ponto não será degenerado.

A matriz hessiana é útil para identificar a concavidade de funções duas vezes diferenciáveis. Seja f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) {\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)} uma função de n variáveis com derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas em um conjunto convexo aberto S.

Considere a função f ( x , y ) = 2 x − y + 2 x y − x 2 − y 2 {\displaystyle f\left(x,y\right)=2x-y+2xy-x^{2}-y^{2}} definida no conjunto de todos os pares de números. Sua matriz hessiana é: H [ f ( x , y ) ] = [ ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∂ y ∂ x ∂ 2 f ∂ y 2 ] = [ − 2 2 2 − 2 ] , {\displaystyle H\left[f(x,y)\right]={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2&2\\2&-2\end{bmatrix}},} que é uma matriz negativa semidefinida, portanto f é côncava. Note que neste caso o Hessiano não depende de x e y, mas em geral depende.

Dada a função f ( x ) = f ( x 1 ∗ , x 2 ∗ , x 3 ∗ , … , x n ∗ ) , {\displaystyle f(\mathbf {x} )=f({x_{1}}^{*},{x_{2}}^{*},{x_{3}}^{*},\ldots ,x_{n}^{*}),} a condição necessária para que um determinado ponto ( x 1 ∗ , x 2 ∗ , x 3 ∗ … , x n ∗ ) {\displaystyle ({x_{1}}^{*},{x_{2}}^{*},{x_{3}}^{*}\ldots ,x_{n}^{*})} seja um ponto crítico é que todas as derivadas parciais, calculadas naquele ponto específico, sejam iguais a zero. No entanto, para definir se este ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou de sela, é preciso calcular o determinante da matriz hessiana e seus menores principais. Para isso, pode-se seguir os seguintes passos: