Isomorfismo
Na álgebra abstrata, um isomorfismo é um homomorfismo bijetivo. Duas estruturas matemáticas são ditas isomorfas se há um mapeamento bijetivo entre elas.
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Os isomorfismos são estudados na matemática para estender conhecimentos de uns fenômenos para outros: se dois objetos são isomorfos, então qualquer propriedade que é preservada por um isomorfismo e que é verdade para um dos objetos, também é verdade para o outro objeto. Se um isomorfismo pode ser encontrado de uma parte desconhecida da matemática em alguma área bem estudada da matemática, onde muitos teoremas já foram provados e muitos métodos já estão disponíveis para encontrar respostas, então a função pode ser usada para mapear os problemas da área desconhecida para uma área onde os problemas são facilmente entendidos e trabalhar com eles. Uma aplicação imediata pode ser encontrada no estudo das variedades físicas da Teoria da Relatividade Geral. Por exemplo, transformações conformes são comumente utilizadas para se endereçar estudos de dinâmica em uma variedade já estudada a outras pouco estudadas ou que possuem limitações físicas, como hiperbolicidade global. [ver a ref. onde é estudado a dinâmica do campo escalar no espaço-tempo de Einstein e endereçada ao espaço-tempo de Anti-de Sitter (estendido) via invariância conforme].
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Os seguintes exemplos são de isomorfismos da álgebra linear.
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Um relação de preservação de isomorfismo
Se um objeto consiste de um conjunto X com uma relação binária R e o outro objeto consiste de um conjunto Y com uma relação binária S, então um isomorfismo de X para Y é uma função bijetora ƒ: X → Y, de tal modo que: S ( f ( u ) , f ( v ) ) ⟺ R ( u , v ) {\displaystyle \operatorname {S} (f(u),f(v))\iff \operatorname {R} (u,v)} S é reflexiva, antirreflexiva, simétrica, antissimétrica, assimétrica, transitiva, total, tricotômica, ordem parcial, ordem total, ordem estrita fraca, pré-ordem total, relação de equivalência ou uma relação com qualquer outras propriedades especiais se e somente se R for. Por exemplo, R é uma ordenação ≤ e S uma ordenação ⊑ , {\displaystyle \scriptstyle \sqsubseteq ,} então um isomorfismo de X para Y é uma função bijetora ƒ: X → Y, de tal modo que: f ( u ) ⊑ f ( v ) ⟺ u ≤ v . {\displaystyle f(u)\sqsubseteq f(v)\iff u\leq v.} Tal isomorfismo é chamado de isomorfismo de ordem ou (menos comumente) um isomorfismo isótono.
Uma operação de preservação de isomorfismo
Suponha que sobre estes conjuntos X e Y há duas operações binárias ⋆ {\displaystyle \scriptstyle \star } e ◊ {\displaystyle \scriptstyle \Diamond } que acontecem para constituir os grupos (X, ⋆ {\displaystyle \scriptstyle \star } ) e (Y, ◊ {\displaystyle \scriptstyle \Diamond } ). Note que os operadores operam nos elementos do domínio e alcance (contradomínio ou imagem), respectivamente, da função ƒ “um-para-um” e “para”. Há um isomorfismo de X para Y se a função bijetora ƒ: X → Y passa a produzir resultados que estabelece uma correspondência entre o operador ⋆ {\displaystyle \scriptstyle \star } e o operador ◊ . {\displaystyle \scriptstyle \Diamond .}
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Na álgebra abstrata, dois isomorfismos básicos são definidos: Assim como os automorfismos de uma estrutura algébrica formam um grupo, os isomorfismos entre duas álgebras que compartilham uma estrutura comum forma um heap. Em análise matemática, a transformada de Laplace é um isomorfismo mapeando equações diferenciais difíceis em equações algébricas fáceis. Na teoria das categorias, dada categoria C consiste de duas classes, uma de objetos e outra de morfismos. Então a definição geral de isomorfismo que cobre a anterior e muitos outros casos é: um isomorfismo é um morfismo ƒ: a → b que tem uma inversa, isto é, existe um morfismo g: b → a com g: b → a e gƒ = 1a. Por exemplo, um mapa linear bijetor é um isomorfismo entre espaços vetoriais e uma função contínua bijetora cuja inversa é também contínua é um isomorfismo entre espaços topológicos, chamada homeomorfismo. Na teoria dos grafos, um isomorfismo entre dois grafos G e H é um mapa bijetor f de um vértice de G para um vértice de H que preserva a “estrutura de arestas” no sentido de que há uma aresta de um vértice u para o vértice v em G se e somente se há uma aresta de f(u) para f(v) em H. Veja isomorfismo de grafos.
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Em certas áreas da matemática, notavelmente a teoria das categorias, é necessário distinguir entre a igualdade de um lado e isomorfismo do outro. Igualdade é quando dois objetos são exatamente o mesmo, e tudo que é verdadeiro sobre um objeto é verdadeiro sobre outro, enquanto que um isomorfismo implica que tudo que é verdade sobre uma designada parte de uma estrutura de um objeto é verdade sobre o outro. Por exemplo, os conjuntos: A = { x ∈ Z ∣ x 2 < 2 } {\displaystyle A=\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\}} e B = { − 1 , 0 , 1 } {\displaystyle B=\{-1,0,1\}} são iguais; eles têm apenas diferentes apresentações de um mesmo subconjunto dos inteiros. Em contraste, os conjuntos {A, B, C} e {1, 2, 3} não são iguais — o primeiro tem elementos que são letras, enquanto que o segundo tem elementos que são números. Estes são isomórficos como conjuntos, desde que sejam conjuntos finitos, eles são determinados como isomorfos pelas suas cardinalidades (números de elementos) e este ambos têm três elementos, mas existem muitas escolhas de isomorfismo — um isomorfismo é:
