Logaritmo
Na matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número. Por exemplo, o logaritmo de 1 000 na base 10 é 3 porque 10 elevado ao cubo é 1 000 (1 000 = 10 × 10 × 10 = 103). De maneira geral, para quaisquer dois números reais b e x, onde b é positivo e b ≠ 1,.
A ideia dos logaritmos é reverter a operação de exponenciação, isto é, elevar um número a uma potência. A título de exemplo, a potência de três (ou o cubo) de 2 é 8, porque 8 é o produto dos três fatores de 2: Disso resulta que o logaritmo de 8 na base 2 é 3, ou seja: log2 8 = 3.
Exponenciação
A potência de três de qualquer número b é o produto de três fatores de b. De forma mais geral, elevar b à enésima potência, quando n é um número natural, se realiza pela multiplicação de n fatores de b. A enésima potência de b é escrita como bn, que significa: A exponenciação pode ser estendida para by, onde b é um número positivo e o expoente y é qualquer número real. Por exemplo, b−1 é o inverso de b, ou seja, 1/b.
Definição
O logaritmo de um número positivo real x {\displaystyle x} , na base b {\displaystyle b} , é o expoente pelo qual b {\displaystyle b} deve ser elevado para se chegar a x {\displaystyle x} , sendo b {\displaystyle b} um número positivo real diferente de 1 {\displaystyle 1} . Em outras palavras, o logaritmo de x {\displaystyle x} na base b {\displaystyle b} é a solução de y {\displaystyle y} na equação b y = x {\displaystyle b^{y}=x} :
Exemplos
log 2 16 = 4 {\displaystyle \log _{2}16=4} , visto que 2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 {\displaystyle 2^{4}=2\times 2\times 2\times 2=16} . Os logaritmos também podem ser negativos: Um terceiro exemplo é: log10(150) é aproximadamente 2,176, que se localiza entre 2 e 3, da mesma forma como 150 está entre 102 = 100 e 103 = 1 000. Finalmente, para qualquer base b, logb(b) = 1 e logb(1) = 0, pois b1 = b e b0 = 1, respectivamente.
Várias fórmulas são importantes para relacionar um logaritmo a outro, e essas relações são chamadas de identidades logarítmicas ou leis de log.
Produto, quociente, potência e raiz
A tabela a seguir lista algumas identidades logarítmicas com exemplos, sendo que todas podem ser derivadas após a substituição da definição de logaritmo x = b log b ( x ) {\displaystyle x=b^{\log _{b}(x)}} e/ou y = b log b ( y ) {\displaystyle y=b^{\log _{b}(y)}} nos primeiros membros.
Mudança de base
O logaritmo logb(x) pode ser calculado a partir dos logaritmos de x e de b, ambos com uma base arbitrária k, utilizando a seguinte fórmula: As típicas calculadoras científicas calculam os logaritmos nas bases 10 e e. Logaritmos com respeito a qualquer base b podem ser determinados usando qualquer um desses logaritmos, segundo a fórmula: Dado um número x e seu logaritmo logb(x), a base desconhecida b é dada por:
Entre todas as opções para a base, três são particularmente comuns. b = 10, b = e (a constante matemática irracional e ≈ 2,71828183) e b = 2 (o logaritmo binário). Na análise matemática, o uso do logaritmo de base e é generalizado por causa de suas particulares propriedades analíticas. Por outro lado, logaritmos de base 10 (o logaritmo comum) são mais fáceis para cálculos manuais no sistema de numeração decimal. log 10 ( 10 x ) = log 10 10 + log 10 x = 1 + log 10 x . {\displaystyle \log _{10}\,(\,10\,x\,)\ =\;\log _{10}10\ +\;\log _{10}x\ =\ 1\,+\,\log _{10}x\,.} Assim, log10 (x) está relacionado com o número de dígitos decimais de um inteiro positivo x, isto é, o número de dígitos é o menor número inteiro estritamente maior que log10 (x). Por exemplo, log10 (1 430) é aproximadamente 3,15: o próximo inteiro é 4, que é a quantidade de dígitos de 1 430. Tanto o logaritmo natural quanto o logaritmo binário são utilizados na teoria da informação, o que corresponde respectivamente ao uso de nats ou bits como unidades fundamentais de informação. Os logaritmos binários também são usados na ciência da computação, onde o sistema binário é onipresente; na teoria musical, onde uma proporção de dois tons (a oitava) é onipresente e o número de cent entre quaisquer dois tons é uma versão escalonada do logaritmo binário, ou log 2 vezes 1200, da proporção de tons (ou seja, 100 cents por semitom no temperamento igual convencional), ou equivalentemente o logaritmo de base 21/1200; e na fotografia, logaritmos de base 2 redimensionados são usados para medir valores de exposição, níveis de luz, tempos de exposição, aberturas de lentes e sensibilidade fotográfica.
Antecessores
Os babilônios, entre os anos de 2000–1600 a.C., podem ter inventado a multiplicação dos quadrados dos quartos para multiplicar dois números utilizando somente a adição, a subtração e uma tabela de quadrados dos quartos. Entretanto, ele não poderia ser usado para divisão sem uma tabela adicional dos inversos (ou o conhecimento de um algoritmo suficientemente simples para gerar os inversos). Grandes tabelas de quadrados dos quartos foram utilizadas para simplificar a multiplicação precisa de grandes números a partir de 1817, até este método ser substituído pela utilização dos computadores. O matemático indiano Virasena trabalhou com o conceito de ardhaccheda, o número de vezes em que um número da forma 2n pode ser dividido por 2. Para potências exatas de 2, este é o logaritmo naquela base, que é um número inteiro; para outros números, ele é indefinido. Ele descreveu relações como a fórmula do produto e também introduziu logaritmos inteiros nas bases 3 (trakacheda) e 4 (caturthacheda).
De Napier a Euler
O método dos logaritmos foi proposto publicamente em 1614 por John Napier, em um livro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos). Joost Bürgi construiu uma tabela de potências com base muito próxima a 1, e esta tabela fornecia uma boa correspondência entre os inteiros 1-10 (ou 10-100, etc.) e expoentes que podiam ser somados. Esta tabela foi impressa (mas talvez não publicada) em 1620. Entretanto, Bürgi não definiu uma função abstrata contínua como Napier, e também não resolveu a precisão das interpolações, o que também foi trabalhado por Napier. Johannes Kepler, que usou tabelas de logaritmos extensivamente para compilar o seu Ephemeris, que depois dedicou a Napier, observou:
Tabelas de logaritmos
Com a simplificação de cálculos difíceis, os logaritmos contribuíram para o avanço da ciência, especialmente da astronomia. Foram críticos para os avanços na agrimensura, na navegação astronômica e em outros domínios. Pierre Simon Laplace comentou sobre os logaritmos: A ferramenta-chave que possibilitou o uso prático dos logaritmos antes das calculadoras e computadores foi a tabela de logaritmos. A primeira tabela deste tipo foi compilada por Henry Briggs em 1617, imediatamente após a invenção de Napier. Ulteriormente, tabelas com maior alcance e precisão foram publicadas. Essas tabelas listavam valores de logb(x) e bx para qualquer número x em um certo intervalo, com uma determinada precisão, para uma certa base b (usualmente, b = 10). Por exemplo, a primeira tabela de Briggs contém o logaritmo comum de todos os números inteiros de 1 a 1 000, com precisão de oito dígitos. Como a função f(x) = bx é a função inversa de logb(x), ela foi chamada de antilogaritmo. O produto e o quociente de dois números positivos c e d eram rotineiramente calculados pela soma e diferença de seus logaritmos. O produto cd ou o quociente c/d são encontrados por meio de consulta aos antilogaritmos da soma ou diferença, na mesma tabela:
Régua de cálculo
Outra aplicação crítica foi a régua de cálculo, um par de escalas logarítmicas utilizadas para cálculos, da seguinte maneira: A escala logarítmica não deslizante de Edmund Gunter foi desenvolvida logo depois da invenção de Napier. O padre inglês William Oughtred a aprimorou para criar a régua de cálculo — um par de escalas logarítmicas móveis, em que os números são colocados em distâncias proporcionais às diferenças de seus logaritmos. Deslizando-se a escala superior em relação à escala inferior permite a soma mecânica dos logaritmos. Por exemplo, colocando-se a distância de 1 a 2 na escala inferior e a distância de 1 a 3 na escala superior, chega-se na escala inferior ao produto 6. A régua de cálculo foi uma ferramenta essencial para engenheiros e cientistas até a década de 1970, porque ela permite, em detrimento da precisão, muito mais rapidez no cálculo que as técnicas baseadas nas tabelas logarítmicas.
Imagem: Benito Bails - Viuda de Joaquín Ibarra · CC0 · Openverse
Um estudo mais profundo dos logaritmos requer o conceito de função: uma relação entre dois conjuntos, na qual há uma condição entre cada um de seus elementos. Um exemplo é a função exponencial, na qual a enésima potência de b resulta em um número real y. Esta função se escreve:
Função logarítmica
Para justificar a definição de logaritmo, é necessário mostrar que a equação b x = y {\displaystyle b^{x}=y} tem a solução x e que esta é única, desde que y seja positivo e b seja positivo e diferente de 1. Uma prova para este fato requer o teorema do valor intermediário do cálculo elementar. Este teorema afirma que uma função contínua que produz dois valores m e n também produz qualquer valor que se situe entre m e n. Uma função é contínua quando ela não dá “saltos”, isto é, quando seu gráfico pode ser desenhado sem se levantar a caneta. Pode-se demonstrar que esta propriedade se aplica à função f(x) = bx. Como f assume valores positivos arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos, qualquer número y > 0 situa-se entre f(x0) e f(x1) para apropriados x0 e x1. Logo, o teorema do valor intermediário garante que a equação f(x) = y tem uma solução. Além disso, há apenas uma solução para essa equação, porque a função f é estritamente crescente (para b > 1) ou estritamente decrescente (para 0 < b < 1).
Função inversa
A fórmula para o logaritmo de uma potência indica que para qualquer número x, Literalmente, tendo-se a x-ésima potência de b, o logaritmo na base b resulta em x. Inversamente, dado um número positivo y, a fórmula b log b ( y ) = y , {\displaystyle b^{\log _{b}(y)}=y,} diz que se primeiro tirarmos o logaritmo e depois elevarmos a esta potência, temos de volta y. Logo, as duas maneiras possíveis de combinar logaritmos e exponenciação dão o número original. Portanto, a função f(x) = logbx é a função inversa de f(x) = bx. As funções inversas estão estreitamente relacionadas às funções originais. Seus gráficos são correspondentes, apenas trocando-se o eixo das abcissas com o eixo das ordenadas (ou pela reflexão em relação à diagonal x = y), como mostrado nos gráficos ao lado: um ponto (t, u = bt) em um gráfico representa o ponto (u, t = logbu) no outro gráfico, pelo processo da reflexão, e vice-versa. Consequentemente, logb(x) tende para o infinito se x cresce para o infinito, desde que b seja maior que um (nesse caso, logb(x) é uma função crescente). Para b < 1, logb(x) tende para menos infinito.
Derivada e integral
As propriedades analíticas das funções passam para suas funções inversas. Então, como f(x) = bx é uma função diferenciável e contínua, logb(y) também é. Grosso modo, uma função contínua é diferenciável se seu gráfico não tiver "ângulos". Além disso, como a derivada de f(x) calcula a ln(b)bx pelas propriedades da função exponencial, a regra da cadeia implica que a derivada de logb(x) é dada por Isto é, a inclinação de uma tangente que toca o gráfico do logaritmo na base b no ponto (x, logb(x)) é igual a 1/(x ln(b)). Em particular, a derivada de ln(x) é 1/x, o que implica que a integral de 1/x é ln(x) + C. A derivada, com uma definição generalizada, de f(x) é
Representação da integral do logaritmo natural
O logaritmo natural de t corresponde à integral de 1/x dx de 1 para t: Em outras palavras, ln(t) é igual à área entre o eixo das abcissas e o gráfico da função 1/x, variando de x = 1 a x = t, tal como na figura ao lado. Esta é uma consequência do teorema fundamental do cálculo e do fato de que a derivada de ln(x) é 1/x. As fórmulas do logaritmo de produtos e potências podem ser derivadas a partir dessa definição (utilizando como exemplo, ln(tu) = ln(t) + ln(u)): A igualdade (1) divide a integral em duas partes, enquanto a igualdade (2) mostra a mudança de variável (w = x/t). Na ilustração abaixo, o desdobramento corresponde à divisão da área nas partes amarela e azul. Redimensionando a área azul do gráfico à esquerda no eixo das ordenadas e diminuindo-o no eixo das abcissas pelo mesmo fator t, conclui-se que seu tamanho é constante; dessa forma, movendo-o apropriadamente para o gráfico à direita, percebe-se a mesma área em proporções diferentes.
Transcendência do logaritmo
Todos os números reais que não são números algébricos são chamados de números transcendentes; por exemplo, o π e o número de Euler são números deste tipo, porém 2 − 3 {\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}} não é. Quase todos os números reais são números transcendentais. O logaritmo é um exemplo de uma função transcendental. O Teorema de Gelfond-Schneider afirma que os logaritmos geralmente assumem valores transcendentais, isto é, "difíceis".
Logaritmos são uma alternativa fácil de resolver cálculos em alguns casos, por exemplo, log10(1000) = 3. Geralmente, os logaritmos podem ser calculados usando a série de potências ou a média aritmética-geométrica, ou serem retirados de uma tabela de logaritmos pré-calculada, a qual oferece uma precisão definida. O método de Newton, desenvolvido para resolver equações de forma iterativa de maneira aproximada, também pode ser usado para calcular o logaritmo, porque sua função inversa, a função exponencial, é calculada de maneira eficiente por esse método. Usando tabelas de consulta, métodos como o algoritmo de Volder podem ser usados para cálculo de logaritmos se as únicas operações disponíveis são a adição e o deslocamento aritmético. Além disso, o algoritmo do logaritmo binário calcula o lb(x) pela recursividade, baseada em repetidas potências de 2 de x, a partir da seguinte equação:
Série de potências
Para qualquer número real z que satisfaça 0 < z < 2, a seguinte fórmula se aplica: Esta é uma forma para dizer que ln(z) pode ser aproximado a um valor cada vez mais preciso a partir da seguinte expressão: Por exemplo, com z = 1,5, a terceira aproximação equivale a 0,4167, que é cerca de 0,011 maior que a ln(1,5) = 0,405465. Essa série proporciona uma aproximação de ln(z) com uma precisão arbitrária desde que o número de parcelas seja suficiente. Em cálculo elementar, ln(z) é, consequentemente, o limite desta série. Isto representa a série de Taylor do logaritmo natural para z = 1; a série de Taylor de ln z fornece uma aproximação útil para ln(1+z), quando z é pequeno, |z| < 1, logo
Média aritmética-geométrica
A média aritmética-geométrica produz aproximações de alta precisão do logaritmo natural. ln(x) é aproximada com uma precisão de 2−p pela seguinte fórmula criada por Carl Friedrich Gauss: Nessa equação, M(x,y) representa a média aritmética-geométrica de x e y. Ela é obtida calculando-se repetidamente (x+y)/2 (média aritmética) e sqrt{(x*y)} (média geométrica), e depois fazendo com esses resultados sejam os próximos x e y. Esses números convergem rapidamente para um limite comum que é o valor de M(x,y). O valor de m é escolhido de tal modo que para garantir a precisão requerida. Um m maior faz com que o cálculo de M(x,y) requeira mais passos (os valores iniciais de x e y estão mais afastados, logo são necessários mais passos para convergir), mas dá maior precisão. As constantes π e ln(2) podem ser calculadas com séries de rápida convergência.
Os logaritmos têm muitas aplicações dentro e fora da matemática. Algumas destas utilizações são relacionadas à noção de invariância de escala. Por exemplo, cada câmara da casca de um Nautilidae é uma cópia aproximada da seguinte, numa escala com um fator constante, dando origem à formação de uma espiral logarítmica. A lei de Benford que mostra a frequência da distribuição dos dígitos em fontes de dados também pode ser explicada pela invariância de escala. Os logaritmos também estão vinculados à autossimilaridade. Por exemplo, aparecem na análise dos algoritmos que resolvem um problema por meio de sua divisão em dois problemas similares menores e, em seguida, a união de suas soluções. As dimensões de formas geométricas autossimilares, isto é, figuras cujas partes se assemelham ao todo, também são baseadas em logaritmos. As escalas logarítmicas são convenientes para quantificar a variação relativa de um valor em oposição à sua diferença absoluta. Além disso, como a função logarítmica log(x) cresce bem lentamente para grandes valores de x, as escalas logarítmicas são usadas para compactar dados científicos em larga escala. Também são encontrados em muitas fórmulas científicas, tais como a equação de foguete de Tsiolkovsky, a equação de Fenske ou a equação de Nernst.
Escalas logarítmicas
Quantidades científicas são muitas vezes expressas como logaritmos de outras quantidades, usando a escala logarítmica. Por exemplo, o decibel é uma unidade de medida associada a um nível de escala logarítmica. Baseia-se em uma razão de um logaritmo comum — 10 vezes o logaritmo comum de uma razão de potência ou 20 vezes o logaritmo comum de uma razão de tensão. Ele é utilizado para quantificar a perda de níveis de tensão em uma transmissão de sinais elétricos, para descrever níveis de potência de sons em acústica e a absorbância de luz no campo da espectrometria e óptica. A relação sinal-ruído que descreve a quantidade de ruído indesejado em relação a um sinal significativo também é medida em decibéis. De forma similar, a relação sinal-ruído de pico é vulgarmente usada para avaliar a qualidade de som e métodos de compressão de imagens com base em logaritmos.
Psicologia
Os logaritmos estão incluídos em diversas leis que descrevem a percepção humana. A lei de Hick propõe uma relação logarítmica entre o tempo para os indivíduos escolherem uma alternativa e o número de opções que eles possuem para decidir. A lei de Fitts, por outro lado, prevê que o tempo necessário para mover-se rapidamente de uma posição inicial até uma zona de destino final é uma função logarítmica da distância e da área do destino. Na psicofísica, a lei de Weber-Fechner propõe uma relação logarítmica entre estímulo e sensação, tal como o peso real e o percebido de um item que uma pessoa está carregando. Esta lei, entretanto, é menos precisa do que modelos mais recentes, tal como a lei potencial de Stevens.
Teoria da probabilidade e estatística
Os logaritmos surgem na teoria das probabilidades: a lei dos grandes números indica que, para uma moeda honesta, quando o número de lançamentos da moeda tende para infinito, a proporção observada de caras se aproxima da metade. As oscilações dessa proporção em torno da metade são descritas pela lei do logaritmo iterado. Os logaritmos também ocorrem na distribuição log-normal: quando o logaritmo de uma variável aleatória tem uma distribuição normal, diz-se que a variável tem uma distribuição log-normal. As distribuições log-normais são encontradas em muitos campos, sempre que uma variável seja formada pelo produto de muitas variáveis aleatórias positivas e independentes, por exemplo, no estudo da turbulência.
Complexidade computacional
A análise de algoritmos é um ramo da ciência da computação que estuda o desempenho dos algoritmos (programas de computador que resolvem um determinado problema). Os logaritmos são valiosos para descrever algoritmos que dividem um problema em partes menores e juntam as soluções dos subproblemas. Por exemplo, para encontrar um número em uma lista ordenada, a pesquisa binária verifica a entrada do meio e trabalha com a metade antes ou depois da entrada do meio, se o número ainda não foi encontrado. Este algoritmo exige, em média, log2(N) comparações, onde N é o tamanho da lista. Similarmente, a ordenação por mistura (merge sort) classifica uma lista dividindo-a em duas metades e a classifica antes de ordenar os resultados. Esses algoritmos normalmente requerem um tempo aproximadamente proporcional a N · log(N). A base desse logaritmo não é especificada, porque o resultado somente é alterado por um fator constante quando se utiliza uma outra base. Um fator constante é usualmente desconsiderado na análise de algoritmos sob o modelo de custo uniforme padrão.
Entropia e caos
A entropia é uma medida da desordem de algum sistema. Na termodinâmica estatística, a entropia S de um sistema físico é definida como: O somatório é sobre todos os possíveis estados i do sistema em questão, tais como as posições das partículas de gás em um recipiente. Além disso, pi é a probabilidade de que o estado i seja atingido e k é a constante de Boltzmann. Similarmente, a entropia da informação mede a quantidade de informação: se um destinatário de mensagem pode esperar qualquer uma das possíveis mensagens com probabilidades iguais, então a informação transportada por qualquer mensagem é quantificada por log2(N) bits. O expoente de Lyapunov usa o logaritmo para aferir o grau de caotização de um sistema dinâmico. Por exemplo, para partículas movendo-se sobre uma mesa de bilhar oval, até mesmo pequenas mudanças nas condições iniciais resultam em caminhos muito diferentes da partícula. Tais sistemas são caóticos de maneira determinística, porque erros pequenos nas medições do estado inicial previsivelmente conduzem para estados finais muito diferentes. Pelo menos um expoente de Lyapunov deterministicamente caótico é positivo.
Fractais
Os logaritmos são aplicados nas definições das dimensões dos fractais. Fractais são objetos geométricos que são autossimilares: pequenas partes repetem, pelo menos aproximadamente, toda a estrutura global. O triângulo de Sierpinski (imagem) pode ser construído com três cópias dele mesmo, cada pedaço tendo metade da dimensão original. Isto faz com que a dimensão de Hausdorff desta estrutura seja log(3)/log(2) ≈ 1,58. Outra noção de dimensão baseada nos logaritmos é obtida pela contagem do número de caixas (Dimensão de Minkowski–Bouligand) necessário para cobrir o fractal em questão.
Logaritmos complexos
Os números complexos a que resolvem a equação são chamados de logaritmos complexos. Aqui, z é um número complexo. Um número complexo é geralmente representado como z = x + iy, onde x e y são números reais e o i é a unidade imaginária. Um número destes pode ser visualizado como um ponto em um plano complexo, como apresentado à direita. A forma polar codifica um número complexo não-nulo z por seu valor absoluto, que é a distância r da origem e um ângulo entre o eixo x e a linha que passa entre a origem e z. Este ângulo é chamado de argumento de z. O valor absoluto r de z é O argumento não é exclusivamente especificado por z: ambos os ângulos φ e φ' = φ + 2π são argumentos de z, porque adicionarem-se 2π radianos ou 360 graus ao ângulo φ corresponde ao "enrolamento" sobre a origem no sentido anti-horário em uma volta. O número complexo resultante é novamente z, como ilustrado na figura à direita. Entretanto, exatamente um argumento φ satisfaz a condição de: −π < φ e φ ≤ π. Ele é chamado de argumento principal, denotado Arg(z), com A maiúsculo (uma normalização alternativa é 0 ≤ Arg(z) < 2π.)
Inversos de outras funções exponenciais
A exponenciação ocorre em muitas áreas da matemática e sua função inversa é muitas vezes referida como o logaritmo. Por exemplo, o logaritmo de uma matriz é a função inversa da exponencial matricial. Outro exemplo é a função logarítmica p-adic, cujo inverso é a função exponencial p-adic. Ambas são definidas através da série de Taylor para o caso real. No contexto da geometria diferencial, o mapa exponencial traça o espaço tangente em um ponto de uma variável na vizinhança deste ponto. O seu inverso também é chamado o mapa logarítmico. No contexto de grupos finitos, a exponenciação é dada pela multiplicação repetida de um elemento b do grupo com ele mesmo. O logaritmo discreto é o inteiro n que resolve a equação bn = x, onde x é um elemento do grupo. A exponenciação pode ser realizada de forma eficiente, mas em alguns casos o logaritmo discreto é muito difícil de ser calculado. Esta assimetria tem aplicação importante na criptografia de chave pública, como, por exemplo, a troca de chaves de Diffie-Hellman, uma rotina que permite a troca de chaves criptográficas dentro de canais de comunicação inseguros. O logaritmo de Zech está relacionado com o logaritmo discreto no grupo multiplicativo de elementos diferentes de zero de um corpo finito.
Conceitos relacionados
Na perspectiva da matemática pura, a identidade log(cd) = log(c) + log(d) expressa um grupo isomórfico entre os números reais positivos sob a multiplicação e os reais sob a adição. As funções logarítmicas são os únicos isomorfismos contínuos entre estes grupos. Por este isomorfismo, a medida de Haar (Medida de Lebesgue) dx nos números reais corresponde à medida de Haar dx/x nos números reais positivos. Na análise complexa e na geometria algébrica, as formas diferenciais da forma df/f são conhecidas como formas com polos logarítmicos. O polilogaritmo é a função definida por: Ele está relacionado aos logaritmos naturais pela Li1(z) = −ln(1 − z). Além disso, Lis(1) é igual à função zeta de Riemann ζ(s).
