Número real
Um número real é um valor que representa uma quantidade ao longo de uma linha contínua, ou seja um ponto sobre uma linha reta infinita, chamada de reta numérica ou reta real, onde os pontos correspondentes aos números inteiros são igualmente espaçados.
Frações simples foram usadas pelos egípcios por volta de 1000 a.C.; o védico "Shulba Sutras" ("As regras dos acordes") em, cerca de 600 a.C., incluiu o que pode ter sido o primeiro "uso" de números irracionais. O conceito de irracionalidade foi implicitamente aceito pelos primeiros matemáticos indianos desde Manava (ca. 750–690 a.C.), que sabiam que as raízes quadradas de certos números como 2 e 61 não podiam ser exatamente determinadas. Por volta de 500 a.C., os matemáticos gregos liderados por Pitágoras perceberam a necessidade de números irracionais, em particular a irracionalidade da raiz quadrada de 2. A Idade Média trouxe a aceitação de números zero e dos números negativos, inteiros e fracionários, primeiro pelos matemáticos indianos e chineses e depois pelos matemáticos árabes, que também foram os primeiros a tratar números irracionais como objetos algébricos, o que foi possível graças ao desenvolvimento de álgebra. Os matemáticos árabes fundiram os conceitos de "número" e "magnitude" em uma ideia mais geral de números reais. O matemático egípcio Abu Kamil (ca. 850–930) foi o primeiro a aceitar números irracionais como soluções para equações quadráticas ou como coeficientes em uma equação, geralmente na forma de raízes quadradas, raízes cúbicas e raízes quartas.
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O sistema numérico real ( R , + , ⋅ , ≥ ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,\geq )} pode ser definido axiomaticamente, a menos de um isomorfismo. Também existem muitas maneiras de construir "o" sistema de números reais, por exemplo, começando com números naturais, depois definindo números racionais algebricamente e finalmente definindo números reais como classes de equivalência de suas sequências de Cauchy ou como cortes de Dedekind, que são certos subconjuntos de números racionais. Outra possibilidade é começar com uma axiomatização rigorosa da geometria euclidiana (Hilbert, Tarski, etc.) e depois definir o sistema de números reais geometricamente. Todas essas construções dos números reais mostraram-se equivalentes, ou seja, os sistemas numéricos resultantes são isomórficos.
Abordagem axiomática
Seja R {\displaystyle \mathbb {R} } o conjunto de todos os números reais. Então: A última propriedade é o que diferencia os reais dos racionais (e de outros corpos ordenados). Por exemplo, o conjunto de racionais com quadrado menor que 2 tem cotas superiores racionais (por exemplo, 1,5), mas nenhuma cota superior racional é o supremo, porque a raiz quadrada de 2 não é racional. O conjunto dos números reais é unicamente definido pelas propriedades acima. Mais precisamente, dados quaisquer dois corpos ordenados completos, R 1 {\displaystyle R_{1}} e R 2 {\displaystyle R_{2}} , existe um único isomorfismo de R 1 {\displaystyle R_{1}} em R 2 {\displaystyle R_{2}} , permitindo pensar neles como essencialmente o mesmo objeto matemático.
Construção a partir dos números racionais
Os números reais podem ser construídos como classes de equivalência de sequências de Cauchy de números racionais. A ideia é juntar em uma mesma classe todas as sequências que possuem o mesmo limite, ou seja, considerar que duas sequências de Cauchy são equivalentes se possuírem o mesmo limite. Assim, define-se um número real pelo limite que representa uma classe de equivalência. Outra forma de construção dos números reais, por complementação, a partir dos números racionais, considera os decimais infinitos. Neste contexto, é possibilitada uma noção mais geométrica da construção de R {\displaystyle \mathbb {R} } , no sentido que os números racionais são insuficientes para se medir qualquer segmento de reta (como a medida da diagonal de um quadrado de lado 1), sendo os números irracionais, então, criados para representar pontos da reta euclidiana que não podem ser representados por números racionais.
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Abaixo são listadas propriedades dos números reais:
Propriedades básicas
O conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo ordenado. Como consequência, tem-se os seguintes resultados: Além das propriedades de um corpo ordenado, R {\displaystyle \mathbb {R} \,} tem a seguinte propriedade:
Enumerabilidade
O conjunto de todos os números racionais é contável (enumerável), enquanto o conjunto de todos os números reais (assim como o conjunto de números irracionais) é não enumerável. Sendo enumerável, o conjunto dos racionais é um conjunto de medida zero, ou seja, quase todos os números reais são irracionais, no sentido da medida de Lebesgue. Existe uma hierarquia de subconjuntos enumeráveis dos números reais, por exemplo, os números inteiros, os racionais, os números algébricos e os números computáveis, cada conjunto sendo um subconjunto próprio do próximo na sequência. Os complementos de todos esses conjuntos em relação aos reais (números reais não inteiros, irracionais, transcendentes e não computáveis) são conjuntos não enumeráveis.
Completude
A principal razão para o uso de números reais é que os reais contêm todos os seus limites. Mais precisamente, uma sequência de números reais tem um limite, que é um número real, se (e somente se) seus elementos eventualmente chegarem e permanecerem arbitrariamente próximos um do outro. Isso é formalmente definido a seguir e significa que os reais são completos (no sentido de espaços métricos ou espaços uniformes, que é um sentido diferente do que a completude de Dedekind): Uma sequência (xn) de números reais é chamada de sequência de Cauchy se para cada ε > 0 existe um inteiro N (possivelmente dependendo de ε) tal que a distância |xn − xm| é menor do que ε para quaisquer n e m maiores que N. Essa definição, originalmente fornecida por Cauchy, formaliza o fato de que os termos xn eventualmente chegam e permanecem arbitrariamente próximos um do outro.
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Do ponto de vista da abordagem de números reais como decimais infinitos, para se trabalhar com as operações soma e multiplicação nos reais, pode ser usado um processo de aproximação de acordo com a quantidade de casas decimais que se quer determinar, observando-se que os números irracionais possuem expansão decimal infinita e não periódica. Quanto maior a quantidade de casas usadas no processo, mais próxima está a aproximação do resultado real. O processo do cálculo é semelhante às operações dos números decimais exatos. Nesse contexto, a adição e a multiplicação de números reais x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} , denotadas respectivamente por x + y {\displaystyle x+y} e x ⋅ y {\displaystyle x\centerdot y} , podem ser definidas o único número real comum a todos elementos de uma sequência de intervalos encaixantes[nota 3] e evanescentes.[nota 4] Cada limite do intervalo fornece aproximações (por falta e por excesso) tão precisas quanto se quiser para o resultado da operação.
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Como o conjunto dos números reais é formado por todos os números de representações decimal (exatas, periódicas e não periódicas), os conjuntos de naturais, inteiros, racionais e irracionais são subconjuntos de R {\displaystyle \mathbb {R} } . Além destes, pode-se citar alguns subconjuntos dos reais com notação específica:
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Como R {\displaystyle \mathbb {R} } é um corpo ordenado completo, os reais servem para representar a ideia do contínuo (continuum), podendo representar comprimentos de segmentos de reta. Assim, o conjunto dos números reais pode ser visto como o conjunto de todas as abscissas dos pontos da reta numérica. Nesse contexto, um eixo cartesiano é uma reta euclidiana na qual foram escolhidas uma orientação e uma unidade de medida, ou seja, é formado por uma reta euclidiana r {\displaystyle r} , e pela escolha de dois pontos distintos sobre ela: a origem do eixo e o ponto unitário do eixo. Este último é usado para determinar a unidade de medida para os segmentos de reta do eixo, além determinar um sentido de percurso (sentido positivo) para o segmento.
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A expansão decimal de um número real positivo diz até quantas unidades, décimos, centésimos, etc., cabem no mesmo. Em particular, dado um real positivo x = m , a 1 a 2 a 3 . . . {\displaystyle x=m,a_{1}a_{2}a_{3}...} , pode-se escrever: {\displaystyle \qquad } m , a 1 a 2 a 3 . . . a n ≤ x ≤ m , a 1 a 2 a 3 . . . a n + 1 10 n {\displaystyle m,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}\leq x\leq m,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}+{1 \over 10^{n}}} Assim, pode-se dizer que a definição da expansão decimal traz uma relação de ordem entre o real absoluto x {\displaystyle x} e os números racionais que se obtém truncando sua expansão decimal. Isso permite estabelecer uma relação de ordem entre dois reais positivos quaisquer, a partir da comparação entre as respectivas expansões decimais. Dessa forma, para se definir qual é o maior entre dois números reais positivos distintos, x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} , escreve-se suas expansões decimais
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Se existirem, entre dois números reais distintos, infinitos elementos de um subconjunto C de R {\displaystyle \mathbb {R} } , diz-se que o conjunto C é denso em R {\displaystyle \mathbb {R} } . Entre cada par de números reais existe ao menos um intermediário que é número racional, ou seja, Q {\displaystyle \mathbb {Q} } é denso em R {\displaystyle \mathbb {R} } .[demonstração 1] Além disso, entre cada par de números reais existe ao menos um intermediário que é um número irracional. Ou seja, o conjunto I := R − Q {\displaystyle \mathbb {I} :=\mathbb {R} -\mathbb {Q} } dos números irracionais é denso em R {\displaystyle \mathbb {R} } .[demonstração 2]
