Produto tensorial
Em matemática, o produto tensorial V ⊗ W de dois espaços vetoriais V e W é um espaço vetorial, dotado de uma operação de composição bilinear, denotada por ⊗, de pares ordenados do produto Cartesiano V × W sobre V ⊗ W, de uma maneira que generaliza o produto externo. O produto tensorial de V e W é o espaço vetorial gerado pelos símbolos v ⊗ w, com v ∈ V e w ∈ W, em que as relações de bilinearidade são impostas para o produto ⊗, e não são assumidas quaisquer outras relações. O espaço produto tensorial é, assim, o espaço vetorial "mais livre", no sentido de ter o menor número de restrições.
A motivação intuitiva para o produto tensorial baseia-se no conceito mais geral de tensor. Em particular, um tensor é um objeto que pode ser considerado como um tipo especial de função multilinear, que recebe um certo número de vetores (sua ordem) e gera um escalar. Tais objetos são úteis em várias áreas de aplicação, tais como a geometria Riemanniana, famosa por seu uso na teoria geral da relatividade de Albert Einstein na física moderna, onde o tensor métrico é um conceito fundamental: em particular, o tensor métrico pega dois vetores, que podem ser pensados aproximadamente como pequenas setas que partem de um ponto específico dentro de um espaço curvo, ou variedade, e retorna um produto escalar local deles em relação àquele ponto particular - uma operação que codifica aproximadamente os comprimentos dos vetores assim como o ângulo entre eles. Como o produto escalar é um escalar, o tensor métrico é visto então como merecedor de seu nome. Existe um tensor métrico em cada ponto da variedade, e a variação no tensor métrico codifica, assim, o modo como os conceitos de distância e de ângulo, e, portanto, as leis da geometria analítica , variam ao longo da variedade.
O primeiro passo a ser considerado envolve a introdução de algo que é chamado de "espaço vetorial livre" sobre um determinado conjunto. O impulso por trás dessa ideia consiste basicamente no que foi dito no último ponto: como um tensor T {\displaystyle T} pode ser escrito na forma de uma soma dupla T = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ( v i w j ) ( e i ⊗ f j ) {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}(v_{i}w_{j})(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {f} _{j})} o jeito mais natural de abordar este problema é, de alguma forma, descobrir como se pode "esquecer" sobre a escolha específica das bases e {\displaystyle \mathbf {e} } e f {\displaystyle \mathbf {f} } que são usadas aqui. Em matemática, a maneira de "esquecer" os detalhes da representação de alguma coisa é estabelecer uma identificação que diga que duas coisas diferentes que devem ser consideradas representações da mesma coisa são de fato assim, isto é, que, dadas tais coisas diga "sim, elas são a mesma" ou então "não, elas não são a mesma", e então "juntam" todas as representações como se constituíssem a "coisa representada" sem referência a qualquer uma em particular, reunindo-as todas em um único conjunto. Em termos formais, primeiro é construída uma relação de equivalência e, então, toma-se o conjunto quociente definido por essa relação.
A definição acima realmente funcionará para qualquer espaço vetorial em que seja possível especificar uma base, uma vez que ele pode ser reconstruído como o espaço vetorial livre sobre aquela base: o procedimento acima reflete exatamente a forma como os vetores são representados por meio de uma base de Hamel, por construção. Na verdade, não houve qualquer ganho... até que foi feito isso. Como não está sendo suposto que se tem acesso a uma base para cada espaço vetorial V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W} cujo produto tensorial V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} se pretende construir, utiliza-se a melhor opção disponível que, em certo sentido, é algo que garantidamente pode ser feito, independentemente de quaisquer preocupações ou problemática em encontrar uma base específica: usar a totalidade de V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W} como "base" para construir os tensores—o que corresponde ao que, na verdade, foi feito na última parte do "Seção sobre a motivação intuitiva", em que foi considerada a adição de produtos tensoriais arbitrários v ⊗ w {\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} } de vetores arbitrários dos dois espaços. A única diferença aqui é que, se for usada a construção do espaço vetorial livre para formar o produto óbvio F ( V ) ⊗ F ( W ) = F ( V × W ) {\displaystyle F(V)\otimes F(W)=F(V\times W)} ele terá muitas versões redundantes do que deve ser o mesmo tensor, em outras palavras, voltando ao caso em que havia uma base, se for considerado o exemplo bastante específico em que V = W = R 2 {\displaystyle V=W=\mathbb {R} ^{2}} com a base canônica, que é suficientemente pequeno mas não trivial, pode-se considerar que o tensor formado pelos vetores v = [ 0 3 ] T {\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}0&&3\end{bmatrix}}^{T}} e w = [ 5 − 3 ] T , {\displaystyle \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}5&&-3\end{bmatrix}}^{T},} isto é,
O produto tensorial abstrato de dois espaços vetoriais V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W} sobre um corpo base comum é o espaço vetorial quociente V ⊗ W := F ( V × W ) / ∼ {\displaystyle V\otimes W:=F(V\times W)/\sim } em que ∼ {\displaystyle \sim } é a relação de equivalência de igualdade formal, que é gerada pela suposição de que para cada ( v , w ) {\displaystyle (v,w)} e ( v ′ , w ′ ) {\displaystyle (v',w')} tomadas como expressões formais no espaço vetorial livre vale o seguinte: e então testando a equivalência de expressões formais genéricas através de manipulações adequadas baseadas nestas equivalências. A aritmética é definida sobre o produto tensorial escolhendo elementos representativos, aplicando-se as regras aritméticas, e, finalmente, obtendo a classe de equivalência. Além disso, dados quaisquer dois vetores v ∈ V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} e w ∈ W , {\displaystyle \mathbf {w} \in W,} a classe de equivalência [ ( v , w ) ] {\displaystyle [(v,w)]} é indicada por v ⊗ w . {\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} .}
Notação
Muitas vezes os elementos de V ⊗ W são chamados de tensores, embora este termo se refira a muitos outros conceitos relacionados. Se v pertence a V e w pertence a W, então a classe de equivalência de (v, w) é denotada por v ⊗ w, e é denominado o produto tensorial de v com w. Em engenharia, o uso do símbolo "⊗" refere-se, especificamente, à operação de produto externo; o resultado do produto externo v ⊗ w é uma das maneiras usuais de representar a classe de equivalência v ⊗ w. Um elemento de V ⊗ W que pode ser escrito na forma v ⊗ w é chamado de um tensor simples ou puro. Em geral, um elemento do espaço produto tensorial não é um tensor puro, mas sim uma combinação linear finita de tensores puros. Por exemplo, se v1 e v2 são linearmente independentes, e w1 e w2 também são linearmente independentes, então v1 ⊗ w1 + v2 ⊗ w2 não pode ser escrito como um tensor puro. O número de tensores simples necessários para expressar um elemento de um produto tensorial é chamado posto do tensor (não confundir com a ordem do tensor, que é o número de espaços dos quais se tomou o produto, neste caso, 2; na notação, o número de índices), e para operadores lineares ou matrizes, pensados como tensores (1, 1) (elementos do espaço V ⊗ V∗), ele coincide com o posto da matriz.
Dimensão
Dada bases {vi} e {wj} para V e W , respectivamente, os tensores {vi ⊗ wj} formam uma base para V ⊗ W. Portanto, se V e W têm dimensão finita, a dimensão do produto é o produto das dimensões dos espaços originais; por exemplo, Rm ⊗ Rn é isomorfo a Rmn.
Produto tensorial de transformações lineares
O produto tensorial também opera sobre transformações lineares entre espaços vetoriais. Especificamente, dadas as transformações lineares S : V → X e T : W → Y entre espaços vetoriais, o produto tensorial das transformações lineares S e T é uma transformação linear S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y {\displaystyle S\otimes T:V\otimes W\to X\otimes Y} ( S ⊗ T ) ( v ⊗ w ) = S ( v ) ⊗ T ( w ) . {\displaystyle (S\otimes T)(v\otimes w)=S(v)\otimes T(w).} Desta forma, o produto tensorial se torna um bifuntor da categoria dos espaços vetoriais sobre si mesma, covariante em ambos os argumentos. Se S e T são ambas injectivas, sobrejetivas ou contínuas então S ⊗ T é, respectivamente, injetiva, sobrejetiva ou contínua.
Propriedade universal
No contexto de espaços vetoriais, o produto tensorial e a transformação bilinear φ : V × W → V ⊗ W {\displaystyle \varphi :V\times W\to V\otimes W} são caracterizados a menos de isomorfismo por uma propriedade universal sobre transformações bilineares. (Lembre-se que uma transformação bilinear é uma função que é separadamente linear em cada um de seus argumentos.) Informalmente, φ {\displaystyle \varphi } é a transformação bilinear mais geral definida em V × W . {\displaystyle V\times W.} O espaço vetorial V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} e a transformação bilinear associada φ : V × W → V ⊗ W {\displaystyle \varphi :V\times W\to V\otimes W} têm a propriedade de que toda transformação bilinear h : V × W → Z {\displaystyle h:V\times W\to Z} de V × W {\displaystyle V\times W} para qualquer espaço vetorial Z {\displaystyle Z} pode ser fatorada unicamente através de φ . {\displaystyle \varphi .} Ao dizer que " h {\displaystyle h} é fatorada unicamente através de φ {\displaystyle \varphi } ", o que se quer dizer é que existe uma única transformação linear h ~ : V ⊗ W → Z {\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to Z} tal que h = h ~ ∘ φ . {\displaystyle h={\tilde {h}}\circ \varphi .}
Potências tensoriais e tranças
Seja n um número inteiro não negativo. A n-ésima potência tensorial do espaço vetorial V é o produto tensorial de n cópias de V com si próprio, isto é, V ⊗ n = d e f V ⊗ ⋯ ⊗ V ⏟ n . {\displaystyle V^{\otimes n}\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n}.} Uma permutação σ do conjunto {1, 2, ..., n} determina uma função da n-ésima potência cartesiana de V como segue: { σ : V n → V n σ ( v 1 , v 2 , ⋯ , v n ) = ( v σ ( 1 ) , v σ ( 2 ) , ⋯ , v σ ( n ) ) {\displaystyle {\begin{cases}\sigma \colon V^{n}\to V^{n}\\\sigma (v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})=\left(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\cdots ,v_{\sigma (n)}\right)\end{cases}}}
Dados os números inteiros não negativos r e s, um tensor do tipo (r,s) em um espaço vetorial V é um elemento de T s r ( V ) = V ⊗ ⋯ ⊗ V ⏟ r ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ ⏟ s = V ⊗ r ⊗ V ∗ ⊗ s . {\displaystyle T_{s}^{r}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{r}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{s}=V^{\otimes r}\otimes V^{*\otimes s}.} Aqui V∗ é o espaço vetorial dual (que consiste de todas as transformações lineares f de V para o corpo de escalares K). Há uma aplicação produto, chamado de produto (tensorial) de tensores T s r ( V ) ⊗ K T s ′ r ′ ( V ) → T s + s ′ r + r ′ ( V ) . {\displaystyle T_{s}^{r}(V)\otimes _{K}T_{s'}^{r'}(V)\to T_{s+s'}^{r+r'}(V).} Ela é definida pelo agrupamento de todas as ocorrências de "fatores" V: escrevendo-se vi para um elemento de V e fi para elementos do espaço dual, ( v 1 ⊗ f 1 ) ⊗ ( v 1 ′ ) = v 1 ⊗ v 1 ′ ⊗ f 1 . {\displaystyle (v_{1}\otimes f_{1})\otimes (v'_{1})=v_{1}\otimes v'_{1}\otimes f_{1}.}
Um exemplo particular é o produto tensorial de um espaço vetorial V com seu espaço dual V∗ (que consiste em todas as transformações lineares f de V ao campo terrestre K ). Neste caso, existe uma função de avaliação canônica V ⊗ V ∗ → K {\displaystyle V\otimes V^{*}\to K} que é definida nos tensores elementares por v ⊗ f ↦ f ( v ) . {\displaystyle v\otimes f\mapsto f(v).} A função resultante T s r ( V ) → T s − 1 r − 1 ( V ) {\displaystyle T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V)} é chamada de contração do tensor (para r, s > 0 ). Por outro lado, se V tem dimensão finita, há uma aplicação canônica na outra direção (chamada aplicação de coavaliação) K → V ⊗ V ∗ , λ ↦ ∑ i λ v i ⊗ v i ∗ . {\displaystyle K\to V\otimes V^{*},\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}.} em que v1, ..., vn é qualquer base de V, e vi∗ é a sua base dual. Surpreendentemente, esta aplicação não depende da base escolhida.
Produto tensorial vs. Hom
Dados dois espaços vetoriais de dimensão finita U, V sobre o mesmo corpo K, denote o espaço dual de U por U*e o K-espaço vetorial de todas as transformações lineares de U em V por Hom(U,V). Tem-se a seguinte relação: U ∗ ⊗ V ≅ H o m ( U , V ) , {\displaystyle U^{*}\otimes V\cong \mathrm {Hom} (U,V),} um isomorfismo pode ser definido por α : U ∗ ⊗ V → H o m ( U , V ) , {\displaystyle \alpha :U^{*}\otimes V\rightarrow \mathrm {Hom} (U,V),} pela ação em tensores puro u ∗ ⊗ v ↦ ( u ∗ ⊗ v ) ( u ) = u ∗ ( u ) v , {\displaystyle u^{*}\otimes v\mapsto (u^{*}\otimes v)(u)=u^{*}(u)v,} o seu "inverso" pode ser definido de uma maneira similar como acima (Relação com o espaço dual) usando base dual { u i ∗ } , {\displaystyle \{u_{i}^{*}\},}
Representação adjunta
O tensor T s r ( V ) {\displaystyle \scriptstyle T_{s}^{r}(V)} pode ser visto naturalmente como um módulo para a álgebra de Lie End(V), por meio da ação diagonal: por simplicidade, suponha que r = s = 1, então, para cada u ∈ End(V), u ( a ⊗ b ) = u ( a ) ⊗ b − a ⊗ u ∗ ( b ) , {\displaystyle u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b),} em que u∗ em End(V∗) é a transposta de u, isto é, em termos do emparelhamento óbvio em V ⊗ V∗, ⟨ u ( a ) , b ⟩ = ⟨ a , u ∗ ( b ) ⟩ . {\displaystyle \langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle .} Há um isomorfismo canônico T 1 1 ( V ) → E n d ( V ) {\displaystyle \scriptstyle T_{1}^{1}(V)\rightarrow \mathrm {End} (V)} definido por
O produto tensorial de dois módulos A e B sobre um anel comutativo R é definido exatamente da mesma maneira que p produto tensorial de espaços vetoriais sobre um corpo: A ⊗ R B := F ( A × B ) / G {\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G} onde agora F(A × B) é o R-módulo livre gerado pelo produto cartesiano e G é o R-módulo gerado pelas mesmas relações acima. De modo mais geral, o produto tensorial pode ser definido mesmo se o anel não for comutativo (ab ≠ ba). Neste caso, A tem que ser um R-módulo à direita e B é R-módulo à esquerda e, em vez das duas últimas relações acima, é imposta a relação ( a r , b ) − ( a , r b ) . {\displaystyle (ar,b)-(a,rb).} Se R não é comutativo, isso não é mais um R-módulo, e sim apenas um grupo abeliano. A propriedade universal também é adaptada quase sem modificação: a aplicação φ : A × B → A ⊗R B definida por (a, b) ↦ a ⊗ b é uma transformação linear intermediária (chamada de "transformação linear intermediária canônica".); isto é, que satisfaz:
Produto de módulos ao longo de um não-comutativa anel
Seja A um R-módulo à direita e B um R-módulo à esquerda. O produto tensorial de A e B é um grupo abeliano definido por A ⊗ R B := F ( A × B ) / G {\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G} onde F ( A × B ) {\displaystyle F(A\times B)} é um grupo abeliano livre sobre A × B {\displaystyle A\times B} e G é um subgrupo de F ( A × B ) {\displaystyle F(A\times B)} gerado pelas relações ∀ a , a 1 , a 2 ∈ A , ∀ b , b 1 , b 2 ∈ B , ∀ r ∈ R : ( a 1 , b ) + ( a 2 , b ) − ( a 1 + a 2 , b ) , ( a , b 1 ) + ( a , b 2 ) − ( a , b 1 + b 2 ) , ( a r , b ) − ( a , r b ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,a_{1},a_{2}\in A,\forall b,b_{1},b_{2}\in B,\forall r\in R:\\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\\&(a,b_{1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\\&(ar,b)-(a,rb).\\\end{aligned}}}
Cálculo do produto tensorial
Para espaços vetoriais, o produto tensorial V ⊗ W é calculado rapidamente já que bases de V de W imediatamente determinam uma base de V ⊗ W, como foi mencionado acima. Para os módulos sobre um anel (comutativo) arbitrário, e nem todo módulo é livre. Por exemplo, Z/nZ não é um grupo abeliano livre (= Z-módulo). O produto tensorial com Z/nZ por M ⊗ Z Z / n Z = M / n M . {\displaystyle M\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} =M/nM.} Mais geralmente, dada uma presentação de um R-módulo M, isto é, um número de geradores mi ∈ M, i ∈ I, juntamente com relações ∑ j ∈ J a j i m i = 0 , {\displaystyle \sum _{j\in J}a_{ji}m_{i}=0,} em que aji ∈ R, o produto tensorial pode ser calculado como a seguir cokernel:
Seja R um anel comutativo. O produto tensorial de R-módulos aplica-se, em particular, se A e B são R-álgebras. Neste caso, o produto tensorial A ⊗R B é ele próprio uma R-álgebra, colocando ( a 1 ⊗ b 1 ) ⋅ ( a 2 ⊗ b 2 ) = ( a 1 ⋅ a 2 ) ⊗ ( b 1 ⋅ b 2 ) . {\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})\cdot (a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2})\otimes (b_{1}\cdot b_{2}).} R [ x ] ⊗ R R [ y ] ≅ R [ x , y ] . {\displaystyle R[x]\otimes _{R}R[y]\cong R[x,y].} Um exemplo específico é quando A e B são corpos que contêm um subcorpo comum R. O produto tensorial de corpos está intimamente relacionado com a teoria de Galois: se, por exemplo, A = R[x] / f(x), onde f é algum polinômio irredutível com coeficientes em R, o produto tensorial pode ser calculado como A ⊗ R B ≅ B [ x ] / f ( x ) {\displaystyle A\otimes _{R}B\cong B[x]/f(x)} em que f é interpretado como o mesmo polinômio, mas com seus coeficientes considerados como elementos de B. No corpo maior B, o polinômio pode se tornar redutível, o que traz a teoria de Galois. Por exemplo, se A = B é uma extensão de Galois de R, então
Matrizes quadradas A, com entradas em um corpo K representam transformações lineares entre espaços vetoriais, por exemplo K n → K n {\displaystyle K^{n}\to K^{n}} e, portanto, transformações lineares ψ : P n − 1 → P n − 1 {\displaystyle \psi :\mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}} entre espaços projetivos sobre K . {\displaystyle K.} Se A é não singular, então ψ {\displaystyle \psi } é bem definida em todos os lugares, e os autovetores de A {\displaystyle A} correspondem aos pontos fixos de ψ . {\displaystyle \psi .} A autoconfiguração de A consiste de n pontos de P n − 1 , {\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1},} desde que A {\displaystyle A} seja genérica e K seja algebricamente fechado. Os pontos fixos de transformações não lineares são os autovetores de tensores. Seja A = ( a i 1 i 2 ⋯ i d ) {\displaystyle A=(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})} um tensor de dimensão d {\displaystyle d} com o formato n × n × ⋯ × n {\displaystyle n\times n\times \cdots \times n} e com entradas ( a i 1 i 2 ⋯ i d ) {\displaystyle (a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})} pertencentes a um corpo algebricamente fechado K {\displaystyle K} de característica zero. Tal tensor A ∈ ( K n ) ⊗ d {\displaystyle A\in (K^{n})^{\otimes d}} define funções polinomiais K n → K n {\displaystyle K^{n}\to K^{n}} e P n − 1 → P n − 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}} com coordenadas
