Teorema de Nielsen–Schreier

Seja F = F ( X ) {\displaystyle F=F(X)} um grupo livre sobre o conjunto X {\displaystyle X} . Um subconjunto A {\displaystyle A} de F ( X ) {\displaystyle F(X)} será dito fechado por prefixos quando para toda palavra w = a 1 a 2 … a r ∈ A {\displaystyle w=a_{1}a_{2}\ldots a_{r}\in A} , a i ∈ X ∪ X − 1 {\displaystyle a_{i}\in X\cup X^{-1}} , reduzida como escrita, temos a 1 … a r − 1 ∈ A {\displaystyle a_{1}\ldots a_{r-1}\in A} . Note que um subconjunto fechado por prefixos necessariamente contém a palavra vazia 1 {\displaystyle 1} . (É verdade que o grupo livre é construído como o conjunto de classes de equivalência de palavras, mas é natural identificar uma classe com o único elemento em forma reduzida que contém.)

Se H {\displaystyle H} é um subgrupo do grupo livre F ( X ) {\displaystyle F(X)} , uma transversal à direita de H {\displaystyle H} em F ( X ) {\displaystyle F(X)} será dita transversal de Schreier quando for um subconjunto fechado por prefixos. É um fato que, dado um subgrupo de um grupo livre, existe uma transversal de Schreier correspondente.

Seja F = F ( X ) {\displaystyle F=F(X)} um grupo livre sobre o conjunto X {\displaystyle X} e seja H ≤ F {\displaystyle H\leq F} . Fixe uma transversal à direita T {\displaystyle {\mathcal {T}}} para H {\displaystyle H} em F {\displaystyle F} e, dado um elemento w ∈ F {\displaystyle w\in F} , seja w ¯ {\displaystyle {\overline {w}}} o único elemento de T {\displaystyle {\mathcal {T}}} tal que w ¯ w − 1 ∈ H {\displaystyle {\overline {w}}w^{-1}\in H} . Assuma-se que 1 ¯ = 1 {\displaystyle {\overline {1}}=1} . Então A cada elemento não-idêntico do conjunto dos ( t x ) ( t x ¯ ) − 1 {\displaystyle (tx)({\overline {tx}})^{-1}} , t ∈ T , x ∈ X {\displaystyle t\in {\mathcal {T}},x\in X} , associe um símbolo y t , x {\displaystyle y_{t,x}} e forme o conjunto Y = { y t , x } {\displaystyle Y=\{y_{t,x}\}} . A substância do Teorema está no segundo item. Com efeito, o que se afirma no primeiro item independe da liberdade do grupo em questão. Temos então a seguinte

O Teorema de Nielsen-Schreier permite exibir uma apresentação de um subgrupo a partir de uma para o grupo que o contém. Para isso, temos o seguinte Seja G {\displaystyle G} o grupo apresentado ⟨ X ∣ R ⟩ {\displaystyle \langle X\mid R\rangle } , isto é, G = F ( X ) / ⟨ R ⟩ F ( X ) {\displaystyle G=F(X)/\langle R\rangle ^{F(X)}} , o subgrupo pelo qual estamos fatorando sendo o fecho normal do subgrupo gerado pelo conjunto R ⊂ F ( X ) {\displaystyle R\subset F(X)} de relatores. Seja H {\displaystyle H} um subgrupo de G {\displaystyle G} e seja K {\displaystyle K} a pré-imagem de H {\displaystyle H} em F ( X ) {\displaystyle F(X)} . Se θ : K → F ( W ) {\displaystyle \theta :K\to F(W)} é um isomorfismo de K {\displaystyle K} com o grupo livre sobre o conjunto W {\displaystyle W} e se T {\displaystyle T} é uma transversal qualquer de K {\displaystyle K} em F ( X ) {\displaystyle F(X)} , então temos a apresentação H ≅ ⟨ W ∣ S ⟩ {\displaystyle H\cong \langle W\mid S\rangle } , onde o conjunto S {\displaystyle S} de relatores é S = { ( t r t − 1 ) θ ∣ t ∈ T , r ∈ R } {\displaystyle S={\big \{}(trt^{-1})^{\theta }\mid t\in T,r\in R{\big \}}} .

O objetivo nesta seção é provar o seguinte Teorema. Seja G ≅ ⟨ x 1 , x 2 , … , x r ∣ w 1 m 1 , w 2 m 2 , … , w s m s ⟩ {\displaystyle G\cong \langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{r}\mid w_{1}^{m_{1}},w_{2}^{m_{2}},\ldots ,w_{s}^{m_{s}}\rangle } . Suponha que ∑ i = 1 s 1 m i ≤ r − 1 {\displaystyle \mathop {\textstyle {\sum }} _{i=1}^{s}\textstyle {\frac {1}{m_{i}}}\leq r-1} . Se houver um grupo P {\displaystyle P} e um epimorfismo θ : G ↠ P {\displaystyle \theta :G\twoheadrightarrow P} tal que a ordem do elemento w i θ ∈ P {\displaystyle w_{i}^{\theta }\in P} é precisamente m i {\displaystyle m_{i}} , então o grupo G {\displaystyle G} é infinito. Lema. Se G {\displaystyle G} tem apresentação G ≅ ⟨ X ∣ R ⟩ {\displaystyle G\cong \langle X\mid R\rangle } , com X , R {\displaystyle X,R} conjuntos finitos e card ⁡ X > card ⁡ R {\displaystyle \operatorname {card} X>\operatorname {card} R} , então a abelianização G ab = G / [ G , G ] {\displaystyle G_{\textrm {ab}}=G/[G,G]} possui infinitos elementos. Em particular, G {\displaystyle G} é um grupo infinito.

Seja G = ⟨ x , y ∣ x 3 , y 3 , ( x y ) 3 ⟩ {\displaystyle G=\langle x,y\mid x^{3},y^{3},(xy)^{3}\rangle } e H = ⟨ x − 1 y , y x − 1 ⟩ ≤ G {\displaystyle H=\langle x^{-1}y,yx^{-1}\rangle \leq G} . Afirmo que H {\displaystyle H} é um grupo Abeliano livre de posto 2 {\displaystyle 2} , isto é, H ≅ Z ⊕ Z {\displaystyle H\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} } . Primeiro, temos [ G : H ] = 3 {\displaystyle [G:H]=3} . De fato, H ⊲ G {\displaystyle H\!\vartriangleleft G} , já que x y x = ( y x − 1 ) − 1 ( x − 1 y ) − 1 ∈ H {\displaystyle xyx=(yx^{-1})^{-1}(x^{-1}y)^{-1}\in H} e y x y = ( y x − 1 ) ( x − 1 y ) ∈ H {\displaystyle yxy=(yx^{-1})(x^{-1}y)\in H} ; logo, o quociente G / H {\displaystyle G/H} tem apresentação ⟨ x , y ∣ x 3 , y 3 , ( x y ) 3 , x − 1 y , y x − 1 ⟩ ≅ ⟨ x ∣ x 3 ⟩ ≅ Z / 3 Z {\displaystyle \langle x,y\mid x^{3},y^{3},(xy)^{3},x^{-1}y,yx^{-1}\rangle \cong \langle x\mid x^{3}\rangle \cong \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} } .