Livro da Restauração e do Balanceamento

Ao não citar nenhum autor anterior, não é claro que trabalhos prévios foram usados por al-Khwarizmi. Os historiadores das matemáticas pronunciam-se baseados na análise textual do livro assim como no corpo de conhecimentos gerais do mundo muçulmano contemporâneo. Mais certeiras são as ligações com a matemática indiana, dado que al-Khwarizmi é autor de outro livro intitulado Kitāb al-Jamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind , literalmente : "O livro da adição e sustração segundo o cálculo indiano", no que discute o sistema de numeração indo-arábico . O livro é um compêndio e uma extensão das regras conhecidas de resolução de equações quadráticas e outros problemas. Foi introduzido no Mundo Ocidental graças à tradução para o latim de Roberto de Chester (mediados do s. XII) titulada Liber algebrae almucabola , e deu origem, em diversas línguas, às palavras álgebra (derivado de al-jabr) e algoritmo (derivado de al-Khwarizmi).

Seguindo a tradição da época, a Introdução começa com louvores a Deus, ao Profeta e ao califa Almamune. De seguida, al-Khwarizmi apresenta o conjunto da obra, indicando que lhe foi comandado pelo Califa: trata-se de um compêndio ou manual, destinado a "fazer mais claro o que era obscuro e (...) facilitar o que era difícil" com o objeto de resolver problemas concretos de cômputo de heranças, medida da terra ou comércio. Num primeiro tempo, o autor expõe o sistema de numeração decimal de números, e a seguir define os objetos da álgebra. Considera três tipos de objetos: os números (escritos com palavras, designados com o nome da unidade monetária dirrã), as raízes (o qual atualmente se escreveria como x) e os quadrados (o qual atualmente se escreveria x2). Alcuarismi classifica as equações quadráticas em seis tipos básicos e proporciona métodos algébricos e geométricos para resolver as mais simples, sem usar notações abstratas: "a álgebra de al-Khwarizmi é apenas retórica, sem qualquer dos recursos que se encontram na Arithmetica grega de Diofanto ou nos trabalhos de Brahmagupta. Até mesmo os números estão escritos com palavras em lugar de símbolos!" Os seis tipos, em notação moderna, são:

Os sucessores de al-Khwarizmi perpetuaram e amplificaram o tratado em outras obras por vezes com o mesmo título. traduzido por Gerardo de Cremona no século XII. Apenas fica uma cópia em árabe. Encontra-se na Universidade de Oxford e está datada de 1361. Em 1831, Frederic Rosen publica uma tradução para o inglês baseado neste manuscrito. No prefácio, adverte que a escrita é "simples e legível", mas que os signos diacríticos árabes foram omitidos, pelo qual a compreensão de certas passagens se torna difícil. O título oferece dificuldade na tradução. Algumas enciclopédias recolhem al-jabr como sinônimo de redução. Dahan-Dalmédico e Pfeiffer, pela sua vez, escrevem "manual de cálculo de al-jabr e al-muqabala". Notas de J. J. O'Connor e E. F. Robertson: