Número p-ádico
Os números p-ádicos são uma extensão dos números racionais, construídos a partir de um número primo 'p'. Diferente dos números reais, eles possuem uma estrutura única, onde os dígitos se estendem infinitamente para a esquerda, em uma base 'p' em vez da base decimal (base 10). Essa construção oferece uma perspectiva diferente para a análise de equações diofantinas e outras áreas da teoria dos números.
Pontos-chave
- Números p-ádicos estendem os racionais, usando um primo 'p' como base.
- Sua representação é semelhante a decimais, mas os dígitos se estendem para a esquerda.
- A aritmética modular é a base para sua motivação, buscando preservar mais informações em equações diofantinas.
- Podem ser entendidos como expansões na base 'p' ou sequências de resíduos módulo potências de 'p'.
- A valoração p-ádica define um valor absoluto e uma métrica, tornando-os um espaço ultramétrico.
A aritmética modular, que aproxima inteiros por seus restos de divisão por 'n', é útil para estudar equações diofantinas. No entanto, a redução módulo 'p' (um primo) perde informações. Usar módulos maiores, como potências de 'p' (p², p³, etc.), preservaria mais dados, mas os anéis resultantes (Z/pᵉ) não são corpos, o que limita as propriedades algébricas. Os números p-ádicos surgem como uma forma de superar essa limitação, oferecendo um ambiente mais rico para a análise.
Existem diversas formas de compreender a natureza dos números p-ádicos, cada uma oferecendo uma perspectiva única sobre sua estrutura e funcionamento.
Como uma Expansão na Base p
Assim como inteiros podem ser escritos na base p (ex: 50 = 1212₃ = 1⋅3³ + 2⋅3² + 1⋅3¹ + 2⋅3⁰), os inteiros p-ádicos podem ser vistos como inteiros na base p, mas com dígitos que se estendem infinitamente para a esquerda (ex: …121012102₃ = … + 2⋅3³ + 1⋅3² + 0⋅3¹ + 2⋅3⁰). A adição e multiplicação seguem regras semelhantes às da base p.
Como uma Sequência de Resíduos Mod pᵏ
Outra forma de definir inteiros p-ádicos é como uma sequência de resíduos (x₁, x₂, x₃, …), onde cada xᵢ é um representante inteiro de uma classe de resíduos módulo pⁱ. Essas sequências devem satisfazer relações de compatibilidade: xᵢ ≡ xⱼ (mod pⁱ) para i < j. A adição e multiplicação são realizadas componente a componente.
Os números p-ádicos podem ser definidos de várias maneiras equivalentes, sendo as duas abordagens a seguir as mais elementares e diretas.
Como Séries Formais na Base p
Um inteiro p-ádico (denotado Zₚ) é frequentemente definido como uma série de potências formal: r = ∑ᵢ<binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes>₀<binary data, 1 bytes>ᵃᵢpⁱ = a₀ + a₁p + a₂p² + …, onde cada aᵢ ∈ {0, 1, …, p-1} é um 'dígito na base p'. Uma unidade p-ádica é um inteiro p-ádico com a₀ ≠ 0. Um número p-ádico (denotado Qₚ) é uma série de Laurent formal: r = ∑ᵢ<binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes>ᵥ<binary data, 1 bytes>ᵃᵢpⁱ = aᵥpᵥ + aᵥ₊₁pᵥ₊₁ + …, onde 'v' é um inteiro (possivelmente negativo) e aᵢ ∈ {0, 1, …, p-1}. Equivalentemente, um número p-ádico é da forma x/pᵏ, onde x é um inteiro p-ádico.
Como Classes de Equivalência
Similar à definição de números reais como classes de equivalência de sequências de Cauchy, os números p-ádicos podem ser definidos como classes de equivalência. O expoente 'v' (valoração p-ádica, vₚ(r)) é determinado unicamente por 'r'. Uma série p-ádica é uma série de Laurent formal ∑ᵢ<binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes>ᵥ<binary data, 1 bytes>rᵢpⁱ, onde 'v' é um inteiro e rᵢ são racionais com valoração não negativa (denominador não divisível por p).
Outras Definições Equivalentes
Existem outras definições equivalentes, como o completamento de um anel de valoração discreta, o completamento de um espaço métrico ou limites inversos. Uma série p-ádica normalizada representa um número p-ádico, e as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão) são definidas normalizando o resultado das operações correspondentes nas séries.
Existem diferentes convenções para escrever expansões p-ádicas. A notação mais comum, utilizada neste artigo, mostra as potências de 'p' aumentando da direita para a esquerda. No entanto, também é possível escrever as expansões com as potências de 'p' aumentando da esquerda para a direita. Além disso, outros conjuntos de dígitos podem ser usados, como os dígitos ternários balanceados.
A expansão p-ádica de um número racional é análoga à expansão decimal, mas com base 'p'. Ela é obtida por um processo de divisão longa, onde o número racional 'r' é expresso como uma soma de potências de 'p' multiplicadas por dígitos 'aᵢ'.
Exemplo: Expansão 5-ádica de 1/3
Para calcular a expansão 5-ádica de 1/3, seguimos os passos: 1/3 = 2 + 5 ⋅ (-1/3). O primeiro dígito é a₀ = 2. Em seguida, para o 'resto' -1/3, temos -1/3 = 3 + 5 ⋅ (-2/3), então a₁ = 3. Para -2/3, -2/3 = 1 + 5 ⋅ (-1/3), então a₂ = 1. Como o resto -1/3 se repete, os dígitos se repetirão: 1/3 = 2 + 3⋅5¹ + 1⋅5² + 3⋅5³ + 1⋅5⁴ + … . Na notação 5-ádica padrão, isso é …1313132₅, com a reticências à esquerda indicando a extensão infinita.
Os inteiros p-ádicos são os números p-ádicos cuja valoração é não negativa. Eles podem ser representados como sequências de resíduos (x₁, x₂, x₃, …) módulo pᵉ, com relações de compatibilidade. Todos os inteiros comuns são inteiros p-ádicos, assim como racionais da forma n/(d⋅pᵏ) onde 'd' é coprimo com 'p' e k ≥ 0.
A valoração p-ádica (vₚ(x)) permite definir um valor absoluto p-ádico: |x|ₚ = p⁻ᵛₚ⁽ˣ⁾ para x ≠ 0, e |0|ₚ = 0. Este valor absoluto satisfaz a desigualdade triangular forte, o que significa que se |x|ₚ ≠ |y|ₚ, então |x+y|ₚ = max(|x|ₚ, |y|ₚ). Isso transforma os números p-ádicos em um espaço métrico (e ultramétrico) com a distância dₚ(x,y) = |x-y|ₚ. Eles formam o completamento dos números racionais sob este valor absoluto p-ádico.
O anel quociente Zₚ/pⁿZₚ é isomorfo ao anel Z/pⁿZ (inteiros módulo pⁿ). Isso ocorre porque qualquer inteiro p-ádico é congruente módulo pⁿ à sua soma parcial ∑ᵢ<binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes>₀<binary data, 1 bytes>ⁿ⁻¹aᵢpⁱ, que é um inteiro no intervalo [0, pⁿ-1]. O limite inverso dos anéis Zₚ/pⁿZₚ é o anel de sequências (a₀, a₁, …) onde aᵢ ∈ Z/pⁱZ e aᵢ ≡ aᵢ₊₁ (mod pⁱ).
Tanto o conjunto dos inteiros p-ádicos (Zₚ) quanto o dos números p-ádicos (Qₚ) são não enumeráveis e possuem a cardinalidade do contínuo. Para Zₚ, isso se deve à sua representação p-ádica, que estabelece uma bijeção com o conjunto das funções de N para {0, …, p-1}. Para Qₚ, isso decorre de sua expressão como uma união enumeravelmente infinita de cópias de Zₚ.
O corpo Qₚ é de característica 0 e contém Q. Diferente dos números reais (R), cujo fecho algébrico é C (uma extensão quadrática), o fecho algébrico de Qₚ (denotado Qₚ̅) tem grau infinito, significando que Qₚ possui infinitas extensões algébricas não equivalentes. Embora exista uma extensão única da valoração p-ádica para Qₚ̅, este último não é metricamente completo, contrastando novamente com o caso dos números reais.
