Teoria da dimensão (álgebra)
Em matemática, a teoria da dimensão é o estudo, em termos de álgebra comutativa, da noção de dimensão de uma variedade algébrica. A necessidade de uma teoria para uma noção aparentemente tão simples resulta da existência de muitas definições de dimensão que são equivalentes apenas nos casos mais regulares. Grande parte da teoria da dimensão consiste em estudar as condições sob as quais várias dimensões são iguais, e muitas classes importantes de anéis comutativos podem ser definidas como os anéis tais que duas dimensões são iguais; por exemplo, um anel regular é um anel comutativo tal que a dimensão homológica é igual à dimensão de Krull.
Seja R {\displaystyle R} um anel noetheriano ou um anel de valorização. Então dim R [ x ] = dim R + 1. {\displaystyle \dim R[x]=\dim R+1.} Se R {\displaystyle R} for noetheriano, isso decorre do teorema fundamental abaixo (em particular, o teorema do ideal principal de Krull), mas também é consequência de um resultado mais preciso. Para qualquer ideal primo p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} em R {\displaystyle R} , ht ( p R [ x ] ) = ht ( p ) . {\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}R[x])=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}).} ht ( q ) = ht ( p ) + 1 {\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+1} para qualquer ideal primo q ⊋ p R [ x ] {\displaystyle {\mathfrak {q}}\supsetneq {\mathfrak {p}}R[x]} em R [ x ] {\displaystyle R[x]} que se contrai para p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} . Isso pode ser demonstrado dentro da teoria básica dos anéis (cf. Kaplansky, commutative rings). Além disso, em cada fibra de Spec R [ x ] → Spec R {\displaystyle \operatorname {Spec} R[x]\to \operatorname {Spec} R} , não se pode ter uma cadeia de ideais primos de comprimento ≥ 2 {\displaystyle \geq 2} .
Teorema fundamental
Seja ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} um anel local noetheriano e I {\displaystyle I} um ideal primário em relação a m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} (ou seja, ele se encontra entre alguma potência de m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} e m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} ). Seja F ( t ) {\displaystyle F(t)} a série de Poincaré do anel graduado associado gr I R = ⨁ 0 ∞ I n / I n + 1 {\textstyle \operatorname {gr} _{I}R=\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}} . Ou seja, F ( t ) = ∑ 0 ∞ ℓ ( I n / I n + 1 ) t n {\displaystyle F(t)=\sum _{0}^{\infty }\ell (I^{n}/I^{n+1})t^{n}} onde ℓ {\displaystyle \ell } se refere ao comprimento de um módulo (sobre um anel artiniano ( gr I R ) 0 = R / I {\displaystyle (\operatorname {gr} _{I}R)_{0}=R/I} ). Se x 1 , … , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} geram I {\displaystyle I} , então suas imagens em I / I 2 {\displaystyle I/I^{2}} têm grau 1 e geram gr I R {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R} como uma R / I {\displaystyle R/I} -álgebra. Pelo teorema de Hilbert-Serre, F {\displaystyle F} é uma função racional com exatamente um polo em t = 1 {\displaystyle t=1} de ordem d ≤ s {\displaystyle d\leq s} . Como ( 1 − t ) − d = ∑ 0 ∞ ( d − 1 + j d − 1 ) t j , {\displaystyle (1-t)^{-d}=\sum _{0}^{\infty }{\binom {d-1+j}{d-1}}t^{j},} descobrimos que o coeficiente de t n {\displaystyle t^{n}} em F ( t ) = ( 1 − t ) d F ( t ) ( 1 − t ) − d {\displaystyle F(t)=(1-t)^{d}F(t)(1-t)^{-d}} é da forma ∑ 0 N a k ( d − 1 + n − k d − 1 ) = ( 1 − t ) d F ( t ) | t = 1 n d − 1 d − 1 ! + O ( n d − 2 ) . {\displaystyle \sum _{0}^{N}a_{k}{\binom {d-1+n-k}{d-1}}=(1-t)^{d}F(t){\big |}_{t=1}{n^{d-1} \over {d-1}!}+O(n^{d-2}).} Ou seja, ℓ ( I n / I n + 1 ) {\displaystyle \ell (I^{n}/I^{n+1})} é um polinômio P {\displaystyle P} em n {\displaystyle n} de grau d − 1 {\displaystyle d-1} . P {\displaystyle P} é chamado de polinômio de Hilbert de gr I R {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R} .
Consequências do teorema fundamental
Seja ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} um anel local noetheriano e defina k = R / m {\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}} . Então Teorema — Se A → B {\displaystyle A\to B} é um morfismo de anéis locais noetherianos, então dim B / m A B ≥ dim B − dim A . {\displaystyle \dim B/{\mathfrak {m}}_{A}B\geq \dim B-\dim A.} A igualdade se mantém se A → B {\displaystyle A\to B} for um módulo plano ou, mais geralmente, se tiver a propriedade "going-down". Demonstração: Sejam x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} os geradores de um ideal m A {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}} -primário e y 1 , … , y m {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}} elementos cujas imagens geram um ideal m B / m A B {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}/{\mathfrak {m}}_{A}B} -primário. Então m B s ⊂ ( y 1 , … , y m ) + m A B {\displaystyle {{\mathfrak {m}}_{B}}^{s}\subset (y_{1},\dots ,y_{m})+{\mathfrak {m}}_{A}B} para algum s {\displaystyle s} . Elevando ambos os lados a potências superiores, vemos que alguma potência de m B {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}} está contida em ( y 1 , … , y m , x 1 , … , x n ) {\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{m},x_{1},\dots ,x_{n})} ; ou seja, este último ideal é m B {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}} -primário; assim, m + n ≥ dim B {\displaystyle m+n\geq \dim B} . A igualdade é uma aplicação direta da propriedade de descida (going-down). C.Q.D.
Fórmula de altitude de Nagata
Teorema — Sejam R ⊂ R ′ {\displaystyle R\subset R'} domínios de integridade, p ′ ⊂ R ′ {\displaystyle {\mathfrak {p}}'\subset R'} um ideal primo e p = R ∩ p ′ {\displaystyle {\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {p}}'} . Se R {\displaystyle R} é um anel noetheriano, então dim R p ′ ′ + t r . d e g R / p R ′ / p ′ ≤ dim R p + t r . d e g R R ′ {\displaystyle \dim R'_{{\mathfrak {p}}'}+\operatorname {tr.deg} _{R/{\mathfrak {p}}}{R'/{\mathfrak {p}}'}\leq \dim R_{\mathfrak {p}}+\operatorname {tr.deg} _{R}{R'}} onde a igualdade se mantém se (a) R {\displaystyle R} for universalmente catenário e R ′ {\displaystyle R'} for uma R {\displaystyle R} -álgebra finitamente gerada ou (b) R ′ {\displaystyle R'} for um anel de polinômios sobre R {\displaystyle R} .
Anéis regulares
Seja R {\displaystyle R} um anel noetheriano. A dimensão projetiva de um R {\displaystyle R} -módulo finito M {\displaystyle M} é o comprimento mais curto de qualquer resolução projetiva de M {\displaystyle M} (possivelmente infinita) e é denotada por pd R M {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M} . Definimos g l . d i m R = sup { pd R M ∣ M é um módulo finito } {\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\sup\{\operatorname {pd} _{R}M\mid M{\text{ é um módulo finito}}\}} ; que é chamada de dimensão global de R {\displaystyle R} . Suponha que R {\displaystyle R} seja local com corpo residual k {\displaystyle k} . Lema — pd R k = g l . d i m R {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=\operatorname {gl.dim} R} (possivelmente infinito).
Profundidade
Seja R {\displaystyle R} um anel e M {\displaystyle M} um módulo sobre ele. Uma sequência de elementos x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} em R {\displaystyle R} é chamada de sequência regular em M {\displaystyle M} se x 1 {\displaystyle x_{1}} não for um divisor de zero em M {\displaystyle M} e x i {\displaystyle x_{i}} não for um divisor de zero em M / ( x 1 , … , x i − 1 ) M {\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{i-1})M} para cada i = 2 , … , n {\displaystyle i=2,\dots ,n} . A priori, não é óbvio se qualquer permutação de uma sequência regular ainda é regular (veja a seção abaixo para alguma resposta positiva). Seja R {\displaystyle R} um anel local noetheriano com ideal maximal m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} e defina k = R / m {\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}} . Então, por definição, a profundidade de um R {\displaystyle R} -módulo finito M {\displaystyle M} é o supremo dos comprimentos de todas as sequências regulares em M {\displaystyle M} dentro de m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} . Por exemplo, temos depth M = 0 ⇔ m {\displaystyle \operatorname {depth} M=0\Leftrightarrow {\mathfrak {m}}} consiste em divisores de zero em M {\displaystyle M} ⇔ m {\displaystyle \Leftrightarrow {\mathfrak {m}}} está associado a M {\displaystyle M} . Por indução, encontramos depth M ≤ dim R / p {\displaystyle \operatorname {depth} M\leq \dim R/{\mathfrak {p}}} para quaisquer primos associados p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} de M {\displaystyle M} . Em particular, depth M ≤ dim M {\displaystyle \operatorname {depth} M\leq \dim M} . Se a igualdade se mantém para M {\displaystyle M} = R {\displaystyle R} , R {\displaystyle R} é chamado de anel de Cohen-Macaulay.
Complexo de Koszul
Seja R {\displaystyle R} um anel e x {\displaystyle x} um elemento nele. Formamos o complexo de cadeias K {\displaystyle K} ( x {\displaystyle x} ) dado por K ( x ) i = R {\displaystyle K(x)_{i}=R} para i {\displaystyle i} = 0, 1 e K ( x ) i = 0 {\displaystyle K(x)_{i}=0} para qualquer outro i {\displaystyle i} com a diferencial d : K 1 ( R ) → K 0 ( R ) , r ↦ x r . {\displaystyle d:K_{1}(R)\to K_{0}(R),\,r\mapsto xr.} Para qualquer R {\displaystyle R} -módulo M {\displaystyle M} , obtemos então o complexo K ( x , M ) = K ( x ) ⊗ R M {\displaystyle K(x,M)=K(x)\otimes _{R}M} com a diferencial d ⊗ 1 {\displaystyle d\otimes 1} e deixamos H ∗ ( x , M ) = H ∗ ( K ( x , M ) ) {\displaystyle \operatorname {H} _{*}(x,M)=\operatorname {H} _{*}(K(x,M))} ser sua homologia. Note: H 0 ( x , M ) = M / x M , {\displaystyle \operatorname {H} _{0}(x,M)=M/xM,} H 1 ( x , M ) = x M = { m ∈ M ∣ x m = 0 } . {\displaystyle \operatorname {H} _{1}(x,M)={}_{x}M=\{m\in M\mid xm=0\}.}
Dimensão injetiva e dimensões de Tor
Seja R {\displaystyle R} um anel. A dimensão injetiva de um R {\displaystyle R} -módulo M {\displaystyle M} , denotada por id R M {\displaystyle \operatorname {id} _{R}M} , é definida exatamente como uma dimensão projetiva: é o comprimento mínimo de uma resolução injetiva de M {\displaystyle M} . Seja Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} a categoria de R {\displaystyle R} -módulos. Teorema — Para qualquer anel R {\displaystyle R} , g l . d i m R = sup { id R M ∣ M ∈ Mod R } = inf { n ∣ Ext R i ( M , N ) = 0 , i > n , M , N ∈ Mod R } {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gl.dim} R\,&=\operatorname {sup} \{\operatorname {id} _{R}M\mid M\in \operatorname {Mod} _{R}\}\\&=\inf\{n\mid \operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N)=0,\,i>n,M,N\in \operatorname {Mod} _{R}\}\end{aligned}}}
Seja A {\displaystyle A} uma álgebra graduada sobre um corpo k {\displaystyle k} . Se V {\displaystyle V} é um subespaço gerador de dimensão finita de A {\displaystyle A} , então definimos f ( n ) = dim k V n {\displaystyle f(n)=\dim _{k}V^{n}} e a seguir estipulamos gk ( A ) = lim sup n → ∞ log f ( n ) log n . {\displaystyle \operatorname {gk} (A)=\limsup _{n\to \infty }{\log f(n) \over \log n}.} Ela é chamada de dimensão de Gelfand-Kirillov de A {\displaystyle A} . É fácil mostrar que gk ( A ) {\displaystyle \operatorname {gk} (A)} é independente da escolha de V {\displaystyle V} . Dado um módulo à direita (ou à esquerda) graduado M {\displaystyle M} sobre A {\displaystyle A} , pode-se definir similarmente a dimensão de Gelfand-Kirillov g k ( M ) {\displaystyle {gk}(M)} de M {\displaystyle M} . Exemplo: Se A {\displaystyle A} tem dimensão finita, então gk( A {\displaystyle A} ) = 0. Se A {\displaystyle A} for um anel afim, então gk( A {\displaystyle A} ) = dimensão de Krull de A {\displaystyle A} .
