Morfismo próprio
Em geometria algébrica, um morfismo próprio é um tipo especial de mapeamento entre esquemas que generaliza o conceito de aplicações próprias em espaços analíticos complexos. Ele possui propriedades importantes relacionadas ao fechamento e à finitude.
Pontos-chave
- Um morfismo é próprio se for separado, de tipo finito e universalmente fechado.
- Espaços projetivos são exemplos de esquemas próprios sobre um anel.
- Morfismos projetivos são próprios, mas o inverso não é verdadeiro.
- Variedades afins de dimensão positiva sobre um corpo nunca são próprias sobre esse corpo.
- O critério valorativo de propriedade oferece uma maneira intuitiva de caracterizar morfismos próprios.
Um morfismo f : X → Y é chamado de universalmente fechado se, ao considerar um esquema Z e um morfismo Z → Y, a projeção do produto fibrado for uma aplicação fechada nos espaços topológicos subjacentes. Um morfismo de esquemas é considerado próprio se ele for separado, de tipo finito e universalmente fechado. Dizemos que X é próprio sobre Y. Especificamente, uma variedade X sobre um corpo k é própria sobre k se o morfismo X → Spec(k) for próprio.
O espaço projetivo Pn sobre um anel comutativo R é sempre próprio sobre R. Embora todos os morfismos projetivos sejam próprios, existem morfismos próprios que não são projetivos, como uma variedade complexa própria suave de dimensão 3 que não é projetiva sobre C. Variedades afins de dimensão positiva sobre um corpo k nunca são próprias sobre k. Um morfismo afim próprio de esquemas deve ser finito; por exemplo, a reta afim A¹ sobre um corpo k não é própria sobre k, pois o morfismo A¹ → Spec(k) não é universalmente fechado.
A seguir, consideramos um morfismo de esquemas f : X → Y e suas propriedades.
Este critério, atribuído a Chevalley, é uma forma intuitiva de identificar morfismos próprios. Para um morfismo f : X → Y de tipo finito entre esquemas noetherianos, f é próprio se, e somente se, para qualquer anel de valorização discreta R com corpo de frações K e qualquer ponto valorizado em K que mapeia para um ponto definido sobre R, existe um único levantamento desse ponto para X sobre R. De forma mais geral, para esquemas quaisquer, f é próprio se, e somente se, para todos os anéis de valorização R com corpo de frações K e qualquer ponto valorizado em K que mapeia para um ponto definido sobre R, existe um único levantamento desse ponto para X sobre R. Isso pode ser reformulado observando que, dada uma curva regular em Y e um levantamento do seu ponto genérico para X, f é próprio se houver exatamente uma maneira de completar essa curva.
Interpretação Geométrica com Discos
A ideia de Spec(C[[t]]) como um disco infinitesimal, análogo ao disco em análise complexa {x ∈ C : |x| < 1}, motiva o critério valorativo. Séries de potências convergem em um disco. Ao inverter t, obtemos séries com polos na origem, topologicamente representadas por um disco com a origem removida. Para um morfismo sobre Spec(C), o critério valorativo implica o 'preenchimento' do ponto 0 ∈ Δ na imagem de Δ*.
Interpretação Geométrica com Curvas
Outro exemplo intuitivo envolve considerar o complemento de um ponto em uma curva, C ∖ {p}. O critério valorativo para propriedade pode ser visto como um diagrama onde uma curva em Y tem um levantamento para X. Geometricamente, isso significa que cada curva em X pode ser completada em uma curva compacta. Essa intuição é capturada ao analisar o anel local O_C,p (um DVR) e seu corpo de frações, onde o problema de levantamento se traduz em um diagrama comutativo envolvendo os esquemas de especificação desses anéis.
Um morfismo f : X → S entre esquemas formais localmente noetherianos é próprio se for um morfismo ádico (mapeia o ideal de definição para o ideal de definição) e o mapa induzido f₀ : X₀ → S₀ for próprio. Aqui, X₀ e S₀ são os esquemas obtidos dividindo pelos ideais de definição.
