Base ortonormal
Em álgebra linear, uma base composta pelos vetores de um espaço vetorial é ortonormal se, além de ser uma base ortogonal, seus vetores forem unitários. Ser ortogonal significa que o produto interno entre pares de vetores distintos dessa base são igual a zero, ou seja,
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Para transformar uma base ortogonal γ {\displaystyle \gamma } qualquer em ortonormal, basta fazer com que o conjunto de seus vetores tenham módulo igual a 1. Se a base é composta por u 1 → , u 2 → , u 3 → , . . . {\displaystyle {\vec {u_{1}}},{\vec {u_{2}}},{\vec {u_{3}}},...} , pode-se realizar isso por meio da divisão de cada vetor pelo seu respectivo módulo, um processo nomeado normalização. Em outras palavras: em que u ^ {\displaystyle {\hat {u}}} indica que este é um vetor unitário. A nova base β {\displaystyle \beta } composta por u 1 ^ , u 2 ^ , u 3 ^ , . . . {\displaystyle {\hat {u_{1}}},{\hat {u_{2}}},{\hat {u_{3}}},...} será então uma base ortonormal.
Exemplo 1
Dada a base ortogonal α {\displaystyle \alpha } composta pelos vetores ( 7 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) {\displaystyle ({\sqrt {7}},0,0),(0,1,0)} e ( 0 , 0 , − 13 ) {\displaystyle (0,0,-13)} , determine uma base ortonormal que gere o mesmo espaço vetorial. Ao realizar o produto interno entre pares de vetores distintos, verifica-se que a base é de fato ortogonal. Para torná-la ortonormal, deve-se dividir cada vetor pelo seu módulo: Os vetores ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0,0),(0,1,0)} e ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,1)} formam, então, uma base ortonormal. Essa é a base canônica em R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} .
Exemplo 2
Dado o conjunto formado pelos vetores ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,0,1,0,1)} e ( − 1 , 1 , 1 , 2 , 0 , − 2 ) {\displaystyle (-1,1,1,2,0,-2)} , encontre uma base ortonormal que gere o mesmo espaço. Realizando o produto interno entre os dois vetores, verifica-se a ortogonalidade entre eles. Agora, é necessário torná-los unitários: Logo, 1 2 ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(0,0,0,1,0,1)} e 1 11 ( − 1 , 1 , 1 , 2 , 0 , − 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {11}}}(-1,1,1,2,0,-2)} compõem uma base ortonormal.
