Matemática
Matemática é uma área do conhecimento que inclui os tópicos dos números, fórmulas e estruturas relacionadas, formas e os espaços em que estão contidos, e quantidades e suas mudanças. Esses tópicos são representados na matemática moderna com as principais subdisciplinas da teoria dos números, álgebra, geometria e análise, respectivamente. No entanto, não há consenso entre os matemáticos sobre uma definição comum para a disciplina acadêmica que estudam.
A palavra matemática vem do grego antigo máthēma e significa "aquilo que se aprende", "aquilo que se conhece", assim como "estudo" e "ciência". A palavra passou a ter o significado mais restrito e técnico de "estudo matemático" mesmo no período clássico.[b] Seu adjetivo é mathēmatikós (μαθηματικός), que significa "relacionado à aprendizagem" ou "estudioso", que também passou a significar "matemático". Em particular, mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη; em latim: ars mathematica) significava "a arte matemática". Da mesma maneira, uma das duas principais escolas de pensamento do pitagorismo era conhecida em grego antigo como mathēmatikoi (μαθηματικοί) — que na época significava "alunos" ao invés do significado moderno dado ao termo "matemáticos". Os pitagóricos foram provavelmente os primeiros a restringir o uso da palavra apenas ao estudo da aritmética e da geometria. Na época de Aristóteles (384-322 a.C.) este significado foi totalmente estabelecido.
Antes do período do Renascimento, a matemática era dividida em duas áreas principais: a aritmética, a manipulação dos números, e a geometria, o estudo das formas. Alguns tipos de pseudociência, como a numerologia e a astrologia, não eram então claramente distinguidas da matemática. Durante o período do Renascimento, surgiram mais dois campos de estudo matemáticos. A notação deu origem à álgebra que, a grosso modo, consiste no estudo e na manipulação de fórmulas. O cálculo, que consiste nos dois subcampos diferencial e integral, é o estudo de funções contínuas que modelam as relações tipicamente não lineares entre quantidades representadas por variáveis. Esta divisão em quatro áreas principais – aritmética, geometria, álgebra, cálculo – perdurou até o final do século XIX. Áreas como mecânica celeste e mecânica dos sólidos eram então estudadas por matemáticos, mas agora são consideradas pertencentes à física. O tema da combinatória foi estudado durante grande parte da história registrada, mas não se tornou um ramo separado da matemática até o século XVII.
Teoria dos Números
A teoria dos números teve início com as primeiras manipulações dos números naturais ( N ) {\displaystyle (\mathbb {N} )} e posteriormente expandiu-se para números inteiros ( Z ) {\displaystyle (\mathbb {Z} )} e números racionais ( Q ) {\displaystyle (\mathbb {Q} )} . Ela já foi chamada de aritmética, mas atualmente este termo é usado principalmente para se referir aos cálculos numéricos. A teoria dos números remonta à antiga Babilônia e provavelmente à China Antiga. Dois proeminentes teóricos deste campo de estudo matemático foram os gregos Euclides e Diofanto de Alexandria. O estudo moderno da teoria dos números na sua forma abstrata é amplamente atribuído a Pierre de Fermat e Leonhard Euler, mas este campo se concretizou totalmente com as contribuições do francês Adrien-Marie Legendre e do alemão Carl Friedrich Gauss.
Geometria
A geometria é um dos ramos mais antigos da matemática e começou com receitas empíricas sobre formas, como linhas, ângulos e círculos, que foram desenvolvidas principalmente para a topografia e a arquitetura, mas desde então floresceram em muitos outros subcampos. Uma inovação fundamental foi a introdução, pelos antigos gregos, do conceito de provas, que exige que cada afirmação seja provada. Por exemplo, não é suficiente verificar por medição que, digamos, dois comprimentos são iguais; sua igualdade deve ser provada através do raciocínio a partir de resultados previamente aceitos (teoremas) e de algumas afirmações básicas que não estão sujeitas a prova porque são evidentes (postulados) ou que fazem parte da definição do objeto de estudo (axiomas). Este princípio, fundamental para toda a matemática, foi elaborado pela primeira vez para a geometria e foi sistematizado por Euclides por volta do ano 300 a.C. em sua obra Os Elementos.
Álgebra
A álgebra é a arte de manipular equações e fórmulas. Diofanto (século III) e Alcuarismi (século IX) foram os dois principais precursores deste campo de estudo matemático. O grego Diofanto resolveu algumas equações envolvendo números naturais desconhecidos ao deduzir novas relações até obter a solução. O persa Alcuarismi, por sua vez, introduziu métodos sistemáticos para transformar equações, como mover um termo de um lado de uma equação para o outro lado. O termo "álgebra" é derivado da palavra árabe al-jabr que significa 'a reunião de partes quebradas' que ele usou para nomear um desses métodos no título de seu tratado principal. A álgebra tornou-se uma área independente apenas com François Viète (1540-1603), que introduziu o uso de variáveis para representar números desconhecidos ou não especificados.
Cálculo e análise
O cálculo, anteriormente chamado de cálculo infinitesimal, foi introduzido de forma independente e simultânea por dois matemáticos do século XVII, Newton e Leibniz. É fundamentalmente o estudo da relação de variáveis que dependem umas das outras. O cálculo foi expandido no século XVIII por Euler com a introdução do conceito de função e muitos outros resultados. Atualmente, “cálculo” refere-se principalmente à parte elementar desta teoria, e “análise” é comumente usada para partes avançadas. A análise é subdividida em análise real, onde as variáveis representam números reais, e análise complexa, onde as variáveis representam números complexos. Ela inclui muitas subáreas compartilhadas por outras áreas da matemática como:
Matemática discreta
A matemática discreta, em termos gerais, é o estudo de objetos matemáticos individuais e contáveis. Como os objetos de estudo aqui são discretos, os métodos de cálculo e análise matemática não se aplicam diretamente.[d] Algoritmos — especialmente sua implementação e complexidade computacional — desempenham um papel importante na matemática discreta. O teorema das quatro cores e a conjectura de Kepler foram dois grandes problemas da matemática discreta resolvidos na segunda metade do século XX. O problema P versus NP, que permanece não solucionado até os dias atuais, também é importante para a matemática discreta, uma vez que sua solução impactaria potencialmente um grande número de problemas computacionalmente difíceis.
Lógica matemática e teoria dos conjuntos
A disciplinas de lógica matemática e teoria dos conjuntos pertencem à matemática desde o final do século XIX. Antes deste período, os conjuntos não eram considerados objetos matemáticos, e a lógica, embora usada em provas matemáticas, pertencia à filosofia e não era estudada especificamente pelos matemáticos. Antes do estudo de Cantor sobre conjuntos infinitos, os matemáticos relutavam em considerar coleções realmente infinitas e consideravam o infinito o resultado de uma enumeração infinita. O trabalho de Cantor ofendeu muitos matemáticos não apenas por considerar conjuntos realmente infinitos, mas por mostrar que isto implica em diferentes tamanhos de infinito, de acordo com o argumento de diagonalização de Cantor. Esta se tornou a crise fundamental da matemática. Posteriormente, este problema foi resolvido na matemática convencional, ao sistematizar o método axiomático dentro de uma teoria de conjuntos formalizada. A grosso modo, cada objeto matemático é definido pelo conjunto de todos os objetos semelhantes e pelas propriedades que esses objetos devem ter. Por exemplo, na aritmética de Peano, os números naturais são definidos por "zero é um número", "cada número tem um sucessor único", "cada número exceto zero tem um antecessor único" e algumas regras de raciocínio. Esta abstração matemática da realidade está incorporada na filosofia moderna do formalismo, fundada por David Hilbert por volta de 1910.
Antiguidade
A história da matemática é uma série cada vez maior de abstrações. Evolutivamente falando, a primeira abstração a ser descoberta, compartilhada por muitos animais, foi provavelmente a dos números: a constatação de que, por exemplo, uma coleção de duas maçãs e uma coleção de duas laranjas (digamos) têm algo em comum, nomeadamente que existem duas delas. Além de reconhecerem como contar objetos físicos, os povos pré-históricos também podem ter sabido contar quantidades abstratas, como o tempo — dias, estações ou anos. As primeiras evidências de matemática mais complexa só começam a aparecer por volta de 3.000 a.C., quando os povos babilônios e egípcios iniciam o uso de aritmética, álgebra e geometria para estimar seus impostos e fazer outros cálculos financeiros voltados para construção e astronomia. Os textos matemáticos mais antigos da Mesopotâmia e do Egito datam de 2000 a.C. a 1800 a.C.. Muitos textos antigos mencionam triplos pitagóricos e assim, por inferência, o teorema de Pitágoras parece ser o conceito matemático mais antigo e difundido depois da aritmética e geometria básicas. É na matemática babilônica que a aritmética elementar (adição, subtração, multiplicação e divisão) aparece pela primeira vez no registro arqueológico. Os babilônios também possuíam um sistema de valor posicional e usavam um sistema de numeração sexagesimal que ainda é usado atualmente para medir ângulos e o tempo.
Medieval e posterior
Durante a Idade de Ouro Islâmica, especialmente durante os séculos IX e X, a matemática islâmica desenvolveu várias inovações importantes baseadas na matemática grega. A conquista mais notável da matemática islâmica foi o desenvolvimento da álgebra. Outras conquistas do período islâmico incluem avanços na trigonometria esférica e a adição do ponto decimal ao sistema de numeração arábico. Muitos matemáticos notáveis deste período eram persas, como Alcuarismi, Omar Caiame e Xarafadim de Tus. Os textos matemáticos gregos e árabes foram, por sua vez, traduzidos para o latim durante a Idade Média e reintroduzidos na Europa. No início da Idade Moderna, a matemática começou a desenvolver-se em ritmo acelerado na Europa Ocidental, com inovações revolucionárias, como a introdução de variáveis e da notação simbólica pelo francês François Viète (1540–1603), a introdução de logaritmos pelo escocês John Napier em 1614, que simplificou bastante os cálculos numéricos, especialmente para astronomia e navegação marítima, a introdução de coordenadas pelo francês René Descartes (1596-1650) para reduzir a geometria à álgebra, além do desenvolvimento do cálculo pelo inglês Isaac Newton (1642-1726/27) e pelo alemão Gottfried Leibniz (1646–1716). O suíço Leonhard Euler (1707-1783), o mais notável matemático do século XVIII, unificou todas estas inovações com uma terminologia padronizada e completou-as com a descoberta e a prova de vários teoremas.
A notação matemática é amplamente utilizada na ciência e na engenharia para representar conceitos e propriedades complexas de forma concisa, inequívoca e precisa. Esta notação consiste em símbolos usados para representar operações, números não especificados, relações e quaisquer outros objetos matemáticos, e depois montá-los em expressões e fórmulas. Mais precisamente, os números e outros objetos matemáticos são representados por símbolos chamados variáveis, que geralmente são letras latinas ou gregas. Operação e relações são geralmente representadas por símbolos ou glifos específicos, como + (mais), × (multiplicação), ∫ {\textstyle \int } (integral), = (igual) e < (menor que). Todos esses símbolos são geralmente agrupados de acordo com regras específicas. A matemática desenvolveu uma terminologia rica que cobre uma ampla variedade de campos que estudam as propriedades de vários objetos e suas interações, sendo que fornecem uma base padrão para a comunicação. Um axioma ou postulado, por exemplo, é uma afirmação matemática considerada verdadeira sem necessidade de prova. Se uma afirmação matemática ainda não foi provada (ou refutada), ela é chamada de conjectura. Através de uma série de argumentos rigorosos empregando raciocínio dedutivo, uma afirmação que é comprovadamente verdadeira torna-se um teorema. Um teorema especializado usado principalmente para provar outro teorema é chamado de lema. Um exemplo comprovado que faz parte de uma conclusão mais geral é denominado corolário.
A matemática é usada na maioria das ciências para modelar fenômenos, o que permite que previsões sejam feitas a partir de leis experimentais. A independência da matemática de qualquer experimentação implica que a precisão de tais previsões depende apenas da adequação do modelo. No caso de previsões imprecisas, ao invés delas serem causadas por conceitos matemáticos inválidos, na verdade implicam na necessidade de alteração do modelo utilizado. Por exemplo, a precessão do periélio do planeta Mercúrio só pôde ser explicada após o desenvolvimento da relatividade geral do alemão Albert Einstein, que substituiu a lei da gravitação universal do inglês Isaac Newton como um modelo matemático melhor. Atualmente, ainda há um debate filosófico sobre se a matemática pode ser classificada como uma ciência. No entanto, na prática, os matemáticos são normalmente considerados cientistas e a matemática tem muito em comum com as ciências físicas, já que é falsificável como elas, o que significa em que, se um resultado ou uma teoria estiverem errados, isto pode ser provado por meio da apresentação de um contraexemplo. Da mesma forma que na ciência, as teorias e os resultados matemáticos (teoremas) são frequentemente obtidos a partir da experimentação, que pode consistir na computação de exemplos selecionados ou no estudo de figuras ou de outras representações de objetos matemáticos (muitas vezes representações mentais sem suporte físico). Por exemplo, quando questionado sobre como conseguiu seus teoremas, Gauss certa vez respondeu "durch planmässiges Tattonieren" ("através de experimentação sistemática"). Contudo, alguns autores enfatizam que a matemática difere da noção moderna de ciência por não se basear em evidências empíricas.
Matemática pura e aplicada
Até ao século XIX, o desenvolvimento da matemática no mundo ocidental era motivado principalmente pelas necessidades trazidas pela tecnologia e ciência, sendo que não havia uma distinção clara entre matemática pura e aplicada. Por exemplo, os números naturais e a aritmética foram introduzidos pela necessidade de contagem, enquanto a geometria foi motivada pela topografia, arquitetura e astronomia. Mais tarde, Isaac Newton introduziu o conceito do cálculo infinitesimal para explicar o movimento dos planetas com sua lei da gravitação universal. Além disso, a maioria dos matemáticos eram cientistas e muitos cientistas também eram matemáticos. Contudo, uma exceção notável ocorreu com a tradição da matemática pura na Grécia Antiga. O problema da fatoração de inteiros, por exemplo, que remonta a Euclides em 300 a.C., não tinha aplicação prática antes de seu uso no criptossistema RSA, que atualmente é amplamente utilizado para a segurança de redes de computadores. No século XIX, matemáticos como os alemães Karl Weierstrass e Richard Dedekind concentraram cada vez mais as suas pesquisas em problemas internos, ou seja, na chamada matemática pura. Isto levou à divisão da matemática em matemáticas pura e aplicada, sendo a última geralmente considerada de menor valor entre os puristas matemáticos. No entanto, a linha que diferencia as duas é tênue.
Eficácia irracional
A eficácia irracional da matemática é um fenômeno que foi nomeado e explicitado pela primeira vez pelo físico Eugene Wigner e descreve o fato de que muitas teorias matemáticas (mesmo as mais “puras”) têm aplicações fora do seu objeto inicial. Estas aplicações podem estar completamente fora da sua área inicial e podem dizer respeito a fenômenos físicos que eram completamente desconhecidos quando a teoria matemática foi introduzida. Um exemplo notável é a fatoração primária de números naturais que foi descoberta mais de 2 mil anos antes de seu uso comum para comunicações seguras na Internet através do sistema criptográfico RSA. Um segundo exemplo histórico é a teoria das elipses. Elas foram estudadas pelos antigos matemáticos gregos como seções cônicas (isto é, interseções de cones com planos). Quase 2 mil anos depois, Johannes Kepler descobriu que as trajetórias dos planetas são elipses.
Ciências específicas
A matemática e a física influenciaram-se mutuamente ao longo da história moderna. A física moderna utliza amplamente a matemática e é também a motivação por trás de grandes desenvolvimentos na matemática. A ascensão da tecnologia no século XX abriu caminho para uma nova ciência: a computação.[f] Este campo está intimamente relacionado à matemática de várias maneiras. A ciência da computação teórica, por exemplo, é essencialmente de natureza matemática. Em contrapartida, a informática também se tornou essencial para a obtenção de novos resultados. Este é um grupo de técnicas conhecidas como matemática experimental. O exemplo mais conhecido é o teorema das quatro cores, comprovado em 1976 com a ajuda de um computador. Isto revolucionou a matemática tradicional, onde a regra até então era que o matemático verificasse cada parte da prova. Em 1998, a conjectura de Kepler sobre empacotamento de esferas também parecia ter sido parcialmente comprovada por um computador. Desde então, uma equipe internacional trabalhou na redação de uma prova formal, que foi concluída (e verificada) em 2015. Um grande problema em aberto na ciência da computação teórica é P versus NP, um dos sete Problemas do Prêmio Millennium.
Alguns matemáticos renomados também foram considerados astrólogos renomados; por exemplo, Ptolomeu, astrônomos árabes, Regiomontano, Cardano, Kepler, ou John Dee. Na Idade Média, a astrologia era considerada uma ciência que incluía a matemática. Em sua enciclopédia, o físico suíço Theodor Zwinger escreveu que a astrologia era uma ciência matemática que estudava o "movimento ativo dos corpos à medida que agem sobre outros corpos" e reservou à matemática a necessidade de “calcular com probabilidade as influências [das estrelas]” para prever suas “conjunções e oposições”. Atualmente, no entanto, a astrologia não é mais considerada uma ciência, mas sim uma pseudociência.
Realidade
A conexão entre a matemática e a realidade material levou a debates filosóficos pelo menos desde a época de Pitágoras. O antigo filósofo Platão argumentou que as abstrações que refletem a realidade material têm elas próprias uma realidade que existe fora do espaço e do tempo. Como resultado, a visão filosófica de que os objetos matemáticos existem de alguma forma por si mesmos na abstração é muitas vezes referida como platonismo. Independentemente das suas possíveis opiniões filosóficas, os matemáticos modernos podem ser geralmente considerados platônicos, uma vez que pensam e falam dos seus objetos de estudo como objetos reais. O matemático suíço Armand Borel resumiu esta visão da realidade matemática da seguinte forma, e forneceu citações de G. H. Hardy, Charles Hermite, Henri Poincaré e Albert Einstein que apoiam seus pontos de vista.
Definições propostas
Não existe um consenso geral sobre uma definição de matemática ou o seu estatuto epistemológico — isto é, o seu lugar entre outras atividades humanas. Muitos matemáticos profissionais não têm interesse em uma definição ou consideram a matemática como algo indefinível. Sequer há consenso sobre se a matemática pode ser considerada uma arte ou uma ciência. Alguns estudiosos apenas dizem que a “matemática é o que os matemáticos fazem”. Isto faz sentido, pois existe um forte consenso entre eles sobre o que a matemática é e não é. A maioria das definições propostas tenta definir a matemática pelo seu objeto de estudo. Aristóteles definiu a matemática como “a ciência da quantidade” e esta definição prevaleceu até o século XVIII. No entanto, ele também observou que o foco apenas na quantidade pode não distinguir a matemática de ciências como a física; em sua opinião, a abstração e o estudo da quantidade como uma propriedade "separável no pensamento" das instâncias reais diferenciam a matemática. No século XIX, quando os matemáticos começaram a abordar temas que não têm uma relação clara com a realidade física, como os conjuntos infinitos, foram dadas uma variedade de novas definições.
Rigor
O raciocínio matemático requer rigor. Isso significa que as definições devem ser absolutamente inequívocas e as provas devem ser redutíveis a uma sucessão de aplicações de regras de inferência,[g] sem qualquer uso de evidência empírica e intuição.[h] O raciocínio rigoroso não é específico da matemática, mas o padrão de rigor é muito mais alto do que em outros campos de estudo. Apesar da concisão da matemática, provas rigorosas podem exigir centenas de páginas para serem expressas. O surgimento de provas assistidas por computador permitiu que os comprimentos das provas se expandissem ainda mais,[i] como o teorema de Feit-Thompson de 255 páginas.[j] O resultado desta tendência é uma filosofia da prova quase empirista, mas que não pode ser considerada infalível.
Educação
A matemática tem uma capacidade evidente de cruzar fronteiras culturais e períodos de tempo. Como atividade humana, a prática da matemática tem um aspecto social, que inclui educação, profissão, reconhecimento, popularização e assim por diante. Na educação, a matemática é uma parte central do currículo e constitui um elemento importante das disciplinas acadêmicas do grupo STEM. Carreiras proeminentes para matemáticos profissionais incluem professor de matemática, estatístico, atuário, analista financeiro, economista, contador, consultor de informática, entre outras. Evidências arqueológicas mostram que o ensino da matemática ocorreu já no segundo milênio a.C., na antiga Babilônia. Evidências comparáveis foram descobertas nos escribas no Antigo Oriente Próximo e depois no mundo greco-romano, começando por volta do ano 300 a.C.. O livro didático de matemática mais antigo conhecido é o Papiro de Rhind, datado de c. 1650 a.C. no Egito Antigo. Devido à escassez de livros, os ensinamentos matemáticos na Índia Antiga foram repassados através da tradição oral memorizada desde o período védico (c. 1500-500 a.C.). Na China Imperial, durante a dinastia Tang (618-907 d.C.), um currículo de matemática foi adotado para concursos públicos para ingressar na burocracia estatal.
Psicologia (estética, criatividade e intuição)
A validade de um teorema matemático depende apenas do rigor da sua prova, que teoricamente poderia ser feita automaticamente por um programa de computador. Isto não significa que não há lugar para criatividade num trabalho matemático. Pelo contrário, muitos resultados matemáticos importantes (teoremas) são soluções de problemas que outros matemáticos não conseguiram resolver e a invenção de uma forma de resolução pode ser uma forma fundamental do processo de resolução. Um exemplo extremo é o teorema de Roger Apéry, cujo autor forneceu apenas as ideias para uma prova e a prova formal foi dada apenas alguns meses depois por três outros matemáticos.
Expressão artística
Notas musicais que soam bem juntas para um ouvido ocidental são sons cujas frequências fundamentais de vibração estão em proporções simples. Por exemplo, uma oitava duplica a frequência e uma quinta justa multiplica-a por 3 2 {\displaystyle {\frac {3}{2}}} . Os humanos, assim como alguns outros animais, consideram os padrões simétricos mais bonitos. Matematicamente, as simetrias de um objeto formam um grupo conhecido como grupo de simetria. Por exemplo, o grupo subjacente à simetria do espelho é o grupo cíclico de dois elementos, Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } . Um teste de Rorschach é uma figura invariante por esta simetria, assim como os corpos de borboletas e animais em geral (pelo menos na superfície). As ondas na superfície do mar possuem simetria de translação: mover o ponto de vista pela distância entre as cristas das ondas não altera a visão do mar. Fractais possuem autossimilaridade.
Popularização
A matemática popular é o ato de apresentar a matemática sem termos técnicos. Apresentar matemática pode ser difícil, uma vez que o público em geral sofre de ansiedade matemática e os objetos matemáticos são altamente abstratos. No entanto, a escrita matemática popular pode superar isto usando aplicativos ou referências culturais.
O prêmio de maior prestígio em matemática é a Medalha Fields, criada em 1936 e concedida a cada quatro anos (exceto por volta da Segunda Guerra Mundial) a até quatro indivíduos. É considerado o equivalente matemático do Prêmio Nobel. Outros prêmios de matemática de prestígio incluem: Uma famosa lista de 23 problemas em aberto, chamada "problemas de Hilbert", foi compilada em 1900 pelo matemático alemão David Hilbert. Esta lista alcançou grande celebridade entre os matemáticos e, desde 2022, pelo menos treze dos problemas (dependendo de como alguns são interpretados) foram resolvidos. Uma nova lista de sete problemas importantes, intitulada "Problemas do Prêmio Millennium", foi publicada no ano 2000. Apenas uma delas, a Hipótese de Riemann, duplica um dos problemas de Hilbert. Uma solução para qualquer um desres problemas acarreta uma recompensa de 1 milhão de dólares. Até hoje, apenas um destes problemas, a Conjectura de Poincaré, foi resolvido.
