Corpo (matemática)
Em matemática, um corpo é um anel comutativo com unidade em que todo elemento diferente de 0 possui um elemento inverso com relação à multiplicação.
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Mais formalmente, um anel comutativo F {\displaystyle F} com unidade é chamado de corpo se: Resulta da comutatividade de F {\displaystyle F} que o y {\displaystyle y} da definição anterior também satisfaz a condição y . x = 1. {\displaystyle y.x=1.} Por outro lado, só pode haver um único y {\displaystyle y} naquelas condições. De facto, se y {\displaystyle y} e y ′ {\displaystyle y'} forem tais que x . y = x . y ′ = 1 , {\displaystyle x.y=x.y'=1,} então Este elemento y {\displaystyle y} designa-se por inverso de x {\displaystyle x} e representa-se por x − 1 . {\displaystyle x^{-1}.} Um corpo F {\displaystyle F} não tem divisores de zero. Efectivamente, se x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} forem dois elementos de F {\displaystyle F} diferentes de 0 {\displaystyle 0} então x . y {\displaystyle x.y} ≠ 0 , {\displaystyle 0,} pois Mas se se tivesse x . y = 0 , {\displaystyle x.y=0,} então ter-se-ia x − 1 . ( x . y ) = 0. {\displaystyle x^{-1}.(x.y)=0.}
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Exemplos
A adição e a multiplicação são assim definidas: se se quer adicionar (respectivamente multiplicar) em Z p , {\displaystyle \mathbb {Z} _{p},} então a + b {\displaystyle a+b} (respectivamente a . b {\displaystyle a.b} ) é o resto da divisão por p {\displaystyle p} da adição (respectivamente multiplicação) dos números inteiros a {\displaystyle a} e b . {\displaystyle b.} < H : a + b 2 , + , ⋅ {\displaystyle {a+b{\sqrt {2}}},+,\cdot } >
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Dado um corpo F , {\displaystyle F,} considere-se a sucessão 1 , {\displaystyle 1,} 1 + 1 , {\displaystyle 1+1,} 1 + 1 + 1 , {\displaystyle 1+1+1,} … Há duas possibilidades. O corpo dos números complexos e os seus subcorpos têm característica 0 ; {\displaystyle 0;} para cada número primo p , {\displaystyle p,} o corpo Zp tem característica p . {\displaystyle p.} Se um corpo tem característica p > 0 , {\displaystyle p>0,} então p {\displaystyle p} é um número primo. De facto, a função é tal que se m {\displaystyle m} e n {\displaystyle n} são números naturais, então f ( m . n ) = f ( m ) . f ( n ) . {\displaystyle f(m.n)=f(m).f(n).} Por outro lado, se F {\displaystyle F} tiver característica p , {\displaystyle p,} então f ( p ) = 0. {\displaystyle f(p)=0.} Se p {\displaystyle p} não fosse primo, tinha-se p = m . n , {\displaystyle p=m.n,} com m {\displaystyle m} e n {\displaystyle n} números naturais menores do que p , {\displaystyle p,} pelo que 0 = f ( p ) = f ( m . n ) = f ( m ) . f ( n ) . {\displaystyle 0=f(p)=f(m.n)=f(m).f(n).} Mas então f ( m ) = 0 {\displaystyle f(m)=0} ou f ( n ) = 0. {\displaystyle f(n)=0.} Isto é impossível pois, por definição, p {\displaystyle p} é o menor número natural tal que f ( p ) = 0. {\displaystyle f(p)=0.}
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Seja S {\displaystyle S} um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Então é possível mergulhar S {\displaystyle S} num corpo F . {\displaystyle F.} Basta definir em S {\displaystyle S} × ( S {\displaystyle (S} \ { 0 } ) {\displaystyle \{0\})} a seguinte relação de equivalência ∼: Se ( a , r ) {\displaystyle (a,r)} for um elemento de S {\displaystyle S} × ( S {\displaystyle (S} \ { 0 } ) , {\displaystyle \{0\}),} seja [ ( a , r ) ] {\displaystyle [(a,r)]} a sua classe de equivalência. Seja F {\displaystyle F} o conjunto das classes de equivalência. Podem-se então definir os seguintes elementos de F {\displaystyle F} e as seguintes operações: Então F {\displaystyle F} é um corpo e a função é uma função injectiva de S {\displaystyle S} em F . {\displaystyle F.} O corpo F {\displaystyle F} designa-se por corpo de fracções do anel S . {\displaystyle S.}
