Cardinal inacessível

Um cardinal κ {\displaystyle \kappa ^{\,}} é inacessível se satisfaz as seguintes três propriedades: 1) κ {\displaystyle \kappa ^{\,}} não é enumerável: onde ω = ℵ 0 {\displaystyle \omega =\aleph _{0}} é o cardinal do conjunto dos números naturais N {\displaystyle \mathbb {N} } . 2) κ {\displaystyle \kappa ^{\,}} é regular: onde cf ( κ ) {\displaystyle {\mbox{cf}}\left(\kappa ^{\,}\right)} é a cofinalidade de κ {\displaystyle \kappa ^{\,}} . 3) κ {\displaystyle \kappa ^{\,}} é limite forte: Um cardinal κ {\displaystyle \kappa ^{\,}} é fracamente inacessível ou inacessível no sentido fraco se satisfaz "1)" e "2)" acima, mas "3)" é substituída por: 3*) κ {\displaystyle \kappa ^{\,}} é cardinal limite: Na literatura mais antiga, o termo "inacessível" já foi usado para se referir aos cardinais fracamente inacessíveis, criando uma certa ambiguidade. Em ZF mais a Hipótese Generalizada do Contínuum as propriedades "inacessível" e "fracamente inacessível" são equivalentes.

Em ZFC, se V α {\displaystyle V_{\alpha }} é a hierarquia cumulativa de von Neumann, então, se κ {\displaystyle \kappa ^{\,}} é inacessível, então V κ {\displaystyle V_{\kappa }} é um modelo de ZFC. Em particular, se κ {\displaystyle \kappa ^{\,}} é o primeiro inacessível, então V κ {\displaystyle V_{\kappa }} é um modelo de ZFC + "não existem cardinais inacessíveis", demonstrando a consistência relativa enunciado "não existem cardinais inacessíveis",ou seja, a existência de cardinais inacessíveis não pode ser demonstrada em ZFC, se ZFC é consistente. Mas isso também implica que a consistência de ZFC + "existem cardinais inacessíveis" não pode ser demonstrada em ZFC, ao menos que ZFC seja inconsistente. Com relação à cardinalidade do contínuo, se supormos a consistência de ZFC mais "existe um cardinal fracamente inacessível", então ZFC mais " 2 ω {\displaystyle 2^{\omega }} é fracamente inacessível" também é consistente.

Se denominarmos ZFCI à ZFC mais o enunciado "existe um cardinal inacessível", devido a que a consistência de ZFC pode ser demonstrada em ZFCI, essa última teoria demonstra mais enunciados de teoria de números, se ZFC é consistente: A demonstração do Teorema de Fermat efetuada por Wiles usa como pressuposto a existência de Universos de Grothendieck: Em outras palavras, a demonstração de Wiles é realizada numa teoria mais forte que ZFC, como quando acrescentamos a existência de um cardinal inacessível. Entretanto, Mc Larty expressa a esperança de que essas hipóteses possam ser eliminadas e que o Teorema de Fermat possa ser demonstrado num fragmento da Aritmética de Peano, mas não propõe nenhuma linha demonstrativa de fazer isso, só possíveis caminhos.