Cardinais regulares e singulares

Se abreviarmos cofinalidade de x {\displaystyle x} como cf ( x ) {\displaystyle {\mbox{cf}}(x)} , podemos generalizar a definição acima para ordinais dizendo que α {\displaystyle \alpha } é regular se cf ( α ) = α {\displaystyle {\mbox{cf}}(\alpha )=\alpha } e singular se cf ( α ) < α {\displaystyle {\mbox{cf}}(\alpha )<\alpha } , pois cf ( α ) {\displaystyle {\mbox{cf}}(\alpha )} ≤ α {\displaystyle \alpha } vale para todo ordinal. De maneira equivalente, podemos definir que um cardinal κ {\displaystyle \kappa } é singular se resulta da união de uma quantidade menor que κ {\displaystyle \kappa } de conjuntos cada um dos quais tem também cardinalidade menor que κ {\displaystyle \kappa } : Por exemplo, ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} é singular pois: ou seja, ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} é a união de ω = ℵ 0 {\displaystyle \omega =\aleph _{0}} conjuntos, cada um dos quais tem cardinalidade menor que ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} .

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, denominada ZFC, pode ser demonstrado que a união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável e portanto ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} é regular. Sem o axioma da escolha, cf ( ℵ 1 ) = ω {\displaystyle {\mbox{cf}}(\aleph _{1})=\omega } (que implica que ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} é singular) é consistente com ZF, se ZF é consistente. Em ZFC é demonstrado que todo cardinal da forma ℵ α + 1 {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}} (denominado cardinal sucessor) é regular. Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado cardinal limite e em ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} temos que α = 0 {\displaystyle \alpha ={\mbox{0}}} ou α {\displaystyle \alpha } é um ordinal limite. Em ZFC não pode ser demonstrada a existência de cardinais limites regulares diferentes de ω {\displaystyle \omega } , se ZFC é consistente.