Cardinalidade
Na matemática, a cardinalidade de um conjunto é uma medida do "número de elementos do conjunto". Por exemplo, o conjunto A={2,4,6} contém 3 elementos e por isso possui cardinalidade 3. Existem duas abordagens para cardinalidade - uma que compara conjuntos diretamente, usando funções bijetoras e funções injetoras, e outra que usa números cardinais.
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Acima, "cardinalidade" foi definida de forma funcional. ou seja, a "cardinalidade" de um conjunto não foi definida como um objeto específico independente. No entanto, tal objeto pode ser definido como segue. A relação de possuir a mesma cardinalidade é chamada equipotência, e ela é uma relação de equivalência sobre a classe de todos os conjuntos. A classe de equivalência de um conjunto A sob essa relação consiste, então, de todos os conjuntos que possuem a mesma cardinalidade de A. Existem duas formas de definir a "cardinalidade de um conjunto": As cardinalidades de conjuntos infinitos são denotadas: Para cada ordinal α, ℵα + 1 é o menor número cardinal maior do que ℵα. A cardinalidade dos números inteiros é denotada aleph-zero (ℵ0), enquanto que a cardinalidade dos números reais é denotada c, e também conhecida como cardinalidade do contínuo. É possível mostrar que c = 2ℵ0 ; esta também é a cardinalidade do conjunto de todos os subconjuntos dos números inteiros. A Hipótese do Contínuo diz que ℵ1 = 2ℵ0, isto é, que 2ℵ0 é o menor número cardinal maior que ℵ0, ou seja, que não existe conjunto cuja cardinalidade esteja situada estritamente entre a dos números inteiros e a dos números reais. A hipótese do contínuo permanece não-solucionada num sentido "absoluto". Veja abaixo para mais detalhes sobre a cardinalidade do contínuo.
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Caso o axioma da escolha seja verdadeiro, então a Lei da Tricotomia é verdadeira para a cardinalidade. Portanto, é possível fazer as seguintes definições:
A intuição obtida com os conjuntos finitos desaparece quando se lida com conjuntos infinitos. No final do século dezenove, Georg Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind e outros, rejeitaram a ideia de Galileu (por sua vez derivada de Euclides) de que o todo não pode ter o mesmo tamanho da parte. Um exemplo disso é o Paradoxo do Hotel de Hilbert. A razão disso é que as várias caracterizações do significado de um conjunto A ser maior do que um conjunto B, ou de ter o mesmo tamanho que um conjunto B, e que são todas equivalentes para conjuntos finitos, não são mais equivalentes para conjuntos infinitos. Diferentes caracterizações podem produzir resultados diferentes. Por exemplo, na caracterização popular de tamanho escolhida por Cantor, pode acontecer de um conjunto infinito A ser maior (nesse sentido) do que um conjunto infinito B; outras caracterizações podem dar como resultado que um conjunto infinito A tem sempre o mesmo tamanho de um conjunto infinito B.
Cardinalidade do contínuo
Um dos resultados mais importantes do trabalho de Cantor foi a demonstração de que a cardinalidade do contínuo ( c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} ) é maior do que aquela dos números naturais (ℵ0); ou seja, existem mais números reais em R do que números inteiros em N. Cantor provou que A Hipótese do Continuum diz que não existe número cardinal entre a cardinalidade dos números reais e a cardinalidade dos números naturais, ou seja, No entanto, essa hipótese não pode ser nem provada nem refutada dentro da amplamente aceita Teoria Axiomática dos Conjuntos de ZFC, se ela for consistente. A aritmética de cardinais pode ser usada para mostrar não apenas que o número de pontos na reta real é igual ao número de pontos em qualquer segmento dessa reta, mas também que esse número é igual ao número de pontos num plano e, também, em qualquer espaço dimensional finito. Esses resultados são altamente contra-intuitivos, pois eles implicam a existência de subconjuntos próprios e superconjuntos próprios de um conjunto infinito S que possuem o mesmo tamanho de S, apesar de S conter elementos que não pertencem aos seus subconjuntos e os superconjuntos de S conterem elementos que não estão incluídos nele.
O Grupo de Montagem é um exemplo de organização que sempre mantém a cardinalidade.
