Categoria dos conjuntos

Os axiomas de categoria são satisfeitos por Set porque a composição de funções é associativa e porque cada conjunto X tem uma função identidade idX : X → X que serve como elemento identidade para a composição de funções. Os epimorfismos em Set são as funções sobrejetivas, os monomorfismos são as unções injetivas e os isomorfismos são as funções bijetivas. O conjunto vazio serve como o objeto inicial em Set tendo as funções vazias como morfismos. Cada singleto é um objeto terminal, tendo como morfismos as funções que mapeiam todos os elementos dos conjuntos de origem para o único elemento de destino. Portanto, não há nenhum objeto zero em Set. A categoria Set é completa e cocompleta. O produto nesta categoria é dado pelo produto cartesiano de conjuntos. O coproduto é dado pela união disjunta: dados conjuntos Ai onde i varia sobre algum conjunto de índices I, o coproduto é construído como a união de Ai × {i} (o produto cartesiano com i serve para garantir que todos os componentes fiquem disjuntos).

Na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, a coleção de todos os conjuntos não é um conjunto; isso segue do axioma da regularidade. Coleções que não são conjuntos são denominadas classes próprias. Não se pode lidar com classes próprias como se lida com conjuntos; em particular, não se pode escrever que essas classes próprias pertencem a uma coleção (um conjunto ou uma classe própria). Isso é um problema porque significa que a categoria dos conjuntos não pode ser formalizada diretamente neste cenário. Categorias como Set, cuja coleção de objetos forma uma classe própria, são conhecidas como categorias grandes, para distingui-las das categorias pequenas, cujos objetos formam um conjunto. Uma maneira de resolver o problema é trabalhar em um sistema que conceda status formal às classes próprias, como a teoria dos conjuntos NBG. Nesse cenário, as categorias formadas por conjuntos são consideradas pequenas e aquelas (como Set) que são formadas por classes próprias são consideradas grandes.