Círculo unitário
Na matemática, um círculo unitário é um círculo de raio unitário — isto é, um raio de 1. Frequentemente, especialmente na trigonometria, o círculo unitário é o círculo de raio 1 centrado na origem no sistema de coordenadas cartesianas no plano euclidiano. Em topologia, é frequentemente denotado como S1 porque é uma n-esfera unitária unidimensional.
No plano complexo, números de magnitude unitária são chamados de números unitários complexos. Este é o conjunto de números complexos z tais que | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} . Quando dividido em componentes reais e imaginários z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} , esta condição é | z | 2 = z z ¯ = x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=1} . O círculo unitário complexo pode ser parametrizado pela medida do ângulo θ {\displaystyle \theta } do eixo real positivo usando a função exponencial complexa, z = e i θ = cos θ + i sen θ {\displaystyle z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta } . (Veja o artigo Fórmula de Euler.) Sob a operação de multiplicação complexa, os números unitários complexos formam um grupo chamado grupo circular, geralmente denotado T {\displaystyle \mathbb {T} } . Na mecânica quântica, um número unitário complexo é chamado de fator de fase.
As funções trigonométricas cosseno e seno do ângulo θ são definidas usando o círculo unitário. Nessa construção geométrica, o ângulo θ é formado por dois raios: o braço inicial, que permanece fixo ao longo do eixo x positivo, e o braço terminal, um raio que se estende da origem até um ponto (x, y) na circunferência do círculo unitário. O valor de θ representa a medida da rotação do braço inicial ao braço terminal, onde a rotação no sentido anti-horário é designada como positiva e a rotação no sentido horário como negativa. Consequentemente, as funções trigonométricas são definidas pelas coordenadas do ponto onde o braço terminal intersecta o círculo: cos θ = x e sen θ = y {\displaystyle \cos \theta =x\quad {\text{e}}\quad \operatorname {sen} \theta =y} A equação x2 + y2 = 1 fornece a relação cos 2 θ + sen 2 θ = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta =1} O círculo unitário também demonstra que seno e cosseno são funções periódicas, com as identidades cos θ = cos ( 2 π k + θ ) {\displaystyle \cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )} sen θ = sen ( 2 π k + θ ) {\displaystyle \operatorname {sen} \theta =\operatorname {sen}(2\pi k+\theta )} para qualquer inteiro k.
Imagem: Vinícius Weite Thomé · BY-SA · Openverse
O conjunto de Julia de sistema dinâmico que não é linear, discreto, com função de evolução: f 0 ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{0}(x)=x^{2}} é um círculo unitário. É um caso mais simples, por isso é amplamente utilizado no estudo de sistemas dinâmicos.
