Complementar
Em teoria dos conjuntos, o complementar de um subconjunto se refere a elementos que não estão no conjunto . Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo , sendo o conjunto o complementar de formado pelos elementos de que não pertencem a . De maneira mais geral, define-se o complementar de em relação a , também chamado de diferença de conjuntos, como o conjunto dos elementos de que não estão em .
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Definição
Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B , também conhecido como diferença de B e A , é o conjunto de elementos de B que não estão em A. A diferença de B para A é geralmente denotada B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} . Às vezes é escrito B − A {\displaystyle B-A} , mas esta notação é ambígua, já que, em alguns contextos, pode ser interpretada como o conjunto de todos os elementos de b - a, onde b é tomado a partir de B e a a partir de A.
Propriedades
Sejam A, B e C três conjuntos. As seguintes identidades mostram propriedades importantes da diferença de conjuntos, que podem ser demonstradas com poucos passos usando a própria definição de diferença de conjuntos, junto com as Leis de De Morgan:
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Definição
Se A é um conjunto, então o complementar de A é o conjunto de elementos que não estão em A. Em outras palavras, se U é o universo que contém todos os conjuntos que estão sendo estudados no problema de modo que não é necessário mencioná-lo quando ele é óbvio e único, então o complementar de A é a diferença entre os conjuntos U e A, sendo representado normalmente como: Outras notações incluem A c {\displaystyle A^{c}} , A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} , A ′ {\displaystyle A'} , ∁ U A {\displaystyle \complement _{U}A} , e ∁ A {\displaystyle \complement A} .
Propriedades
Sejam A e B dois conjuntos no universo U. As seguintes identidades mostram propriedades importantes de complementares: As duas primeiras leis acima mostram que se A é não-vazio, subconjunto próprio de U, então {A, Ac} é uma partição de U.
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Na linguagem de diagramação de textos LaTeX, o comando \setminus é normalmente o utilizado para representar o símbolo de diferença de conjuntos, similar ao comando backslash. Existe também um variante \smallsetminus disponível no pacote amssymb.
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Algumas linguagens de programação permitem a manipulação de conjuntos como estruturas de dados, usar estes operadores como função para construir a diferença entre dois conjuntos a e b:
