Cone
Em geometria, o cone é um sólido geométrico obtido quando se tem uma pirâmide cuja base é um polígono regular, o número de lados da base tende ao infinito e a medida de lado do polígono tende a zero.
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Reto
O cone é dito reto quando a sua base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base (isto é, o seu eixo) é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.
Oblíquo
Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.
Equilátero
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
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Um subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo elemento v pertencente a C e todo t > 0 real, tem-se que tv pertence a C.
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O volume V {\textstyle V} de um cone de altura h {\textstyle h} e base com raio r {\textstyle r} é 1 / 3 {\textstyle 1/3} do volume do cilindro com as mesmas dimensões, ou seja: V = 1 3 π r 2 h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h} O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo a 1 / 4 {\textstyle 1/4} da distância da base ao eixo. A área da superfície de um cone A {\textstyle A} é dada por: A = π r ( r + g ) {\displaystyle A=\pi r(r+g)} onde, g = r 2 + h 2 {\textstyle g={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}} é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula, π r 2 {\textstyle \pi r^{2}} é a área da base, enquanto que o segundo termo π r g {\textstyle \pi rg} é a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base: A = π r ⋅ g + π r 2 {\displaystyle A=\pi r\cdot g+\pi r^{2}}
Com uso de cálculo integral
Aqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas de cálculo diferencial e integral. Um cone de altura h {\textstyle h} e raio r {\textstyle r} corresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função: y = r h x {\displaystyle y={\frac {r}{h}}x} Notemos que a área da seção circular do cone é dada por: A = π y 2 = π ( r h x ) 2 {\displaystyle A=\pi y^{2}=\pi \left({\frac {r}{h}}x\right)^{2}} Para um deslocamento infinitesimal d x {\textstyle dx} tem-se o incremento de volume: d V = π r 2 h 2 x 2 d x {\displaystyle dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}x^{2}dx} Então, integrando de 0 {\textstyle 0} a h {\textstyle h} obtemos o volume do cone:
Para cones equiláteros
Pelo Teorema de Pitágoras temos que ( 2 r ) 2 = h 2 + r 2 {\textstyle (2r)^{2}=h^{2}+r^{2}} , logo h 2 = 4 r 2 − r 2 = 3 r 2 {\textstyle h^{2}=4r^{2}-r^{2}=3r^{2}} , assim: Como o volume do cone é obtido por 1 / 3 {\textstyle 1/3} do produto da área da base pela altura, temos: Similarmente, a área lateral é dada por:
