Conjunto pré-compacto
Em matemática, um conjunto em um espaço topológico é dito pré-compacto ou totalmente limitado se seu fecho é um conjunto compacto.
Um espaço métrico ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} é totalmente limitado se, e somente se, para todo número real ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} existe um subconjunto finito F {\displaystyle F} de M {\displaystyle M} tal que para cada m {\displaystyle m} em M {\displaystyle M} temos d ( m , F ) < ϵ {\displaystyle d(m,F)<\epsilon } . Note que F {\displaystyle F} depende de ϵ {\displaystyle \epsilon } . Todo espaço totalmente limitado é limitado, mas a recíproca não é verdadeira em geral. Por exemplo, um conjunto infinito com a métrica discreta é limitado mas não totalmente limitado. Se M é um espaço euclidiano e d é a distância euclidiana, então um subconjunto (com a topologia induzida) é totalmente limitado se, e somente se, é limitado.
A forma lógica simbólica geral para a definição é: Um subconjunto S de um espaço X é um conjunto totalmente limitado se, e somente se, dado qualquer tamanho E, existe um número natural n e uma família A1, A2, ..., An de subconjuntos de X, tal que S está contido na união desta família (em outras palavras, a família é uma cobertura finita de S),e tal que cada conjunto Ai da família é de tamanho E (ou menor). Simbolicamente: O espaço X é um espaço totalmente limitado se, e somente se é um conjunto totalmente limitado quando considerado como um subconjunto de si próprio. (Pode-se também definir espaços totalmente limitados diretamente, e então definir um conjunto como totalmente limitado se, e somente se é totalmente limitado quando considerado como um subspaço.)
