Espaço métrico
Em matemática, um espaço métrico é um conjunto onde a distância entre quaisquer dois de seus elementos é definida por uma função chamada métrica. A métrica permite que a noção de continuidade seja estendida para funções entre espaços métricos. Os espaços métricos são exemplos de uma classe mais abrangente de espaços, chamados espaços topológicos.
Imagem: José Lemos Silva · BY-SA · Openverse
Seja X {\displaystyle X} um conjunto qualquer. Uma métrica definida sobre X {\displaystyle X} é uma função d : X × X → R {\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} } que associa um par ( x , y ) ∈ X × X {\displaystyle (x,y)\in X\times X} ao número d ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)} , chamado de distância entre x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} , de modo que para quaisquer x , y , z ∈ X {\displaystyle x,y,z\in X} valem: Um par ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} em que X {\displaystyle X} é um conjunto e d {\displaystyle d} é uma métrica é chamado de espaço métrico. De forma intuitiva, pode-se pensar no conjunto X {\displaystyle X} como um conjunto de locais ligados por um sistema de estradas. A distância entre dois pontos pode ser definida como o comprimento da rota mais curta que liga dois desses locais. Deste modo, a simetria significa que neste sistema de estradas não deve haver estradas de mão única e a desigualdade do triângulo expressa o fato de que os desvios não são atalhos.
Espaços vetoriais normados
Qualquer Espaço vetorial munido de uma norma ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \lVert \cdot \rVert } é um espaço métrico. Seja E {\displaystyle {\mathsf {E}}} um espaço vetorial. Uma norma em E {\displaystyle {\mathsf {E}}} é uma função | |: E {\displaystyle {\mathsf {E}}} → {\displaystyle \rightarrow } R {\displaystyle \mathbb {R} } , que associa cada vetor x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} ∈ {\displaystyle \in } E {\displaystyle {\mathsf {E}}} o número real || x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} || chamada a norma de x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} , de modo a serem cumpridas as condições abaixo para quaisquer x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} , y {\displaystyle {\boldsymbol {y}}} ∈ {\displaystyle \in } E {\displaystyle {\mathsf {E}}} e λ {\displaystyle \lambda } escalar:
Definição. Sejam ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} um espaço métrico e U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} um subconjunto, diz-se que U {\displaystyle U} é um subconjunto aberto de X {\displaystyle X} quando para todo elemento x 0 ∈ U {\displaystyle x_{0}\in U} existe algum ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} tal que x ∈ U {\displaystyle x\in U} sempre que d ( x , x 0 ) < ϵ {\displaystyle d(x,x_{0})<\epsilon } . Uma classe importante de conjuntos abertos são as chamadas bolas abertas, para um ponto x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} e um número real r > 0 {\displaystyle r>0} , chama-se bola aberta de centro x 0 {\displaystyle x_{0}} e raio r {\displaystyle r} o subconjunto B ( x 0 ; r ) = { x ∈ X : d ( x , x 0 ) < r } {\displaystyle B(x_{0};r)=\{x\in X:d(x,x_{0})<r\}} . Pode-se mostrar que toda bola aberta é um subconjunto aberto e que todo subconjunto aberto pode ser escrito como a reunião de uma família (enumerável ou não) de bolas abertas.
Conjuntos fechados
Definição. Um ponto a {\displaystyle a} que pertence a um subconjunto A {\displaystyle A} de um espaço métrico M {\displaystyle M} é dito um ponto aderente de A {\displaystyle A} quando, para todo ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} , podemos encontrar x ∈ A {\displaystyle x\in A} tal que d ( x , a ) < ε {\displaystyle d(x,a)<\varepsilon } . O fecho(ou aderência) de um conjunto A {\displaystyle A} num espaço métrico M {\displaystyle M} é o conjunto A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} dos pontos de M {\displaystyle M} que são aderentes a A {\displaystyle A} . Portanto, escrever a ∈ A ¯ {\displaystyle a\in {\bar {A}}} é o mesmo que afirmar que o ponto a {\displaystyle a} é aderente a A {\displaystyle A} em M {\displaystyle M} .
Definição. Sejam M , N {\displaystyle M,N} espaços métricos. Diz-se que a aplicação f : M ⟶ N {\displaystyle f:M\longrightarrow N} é contínua no ponto a ∈ M {\displaystyle a\in M} quando, para todo ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} dado, é possível obter δ > 0 {\displaystyle \delta >0} tal que d ( x , a ) < δ {\displaystyle d(x,a)<\delta } implica d ( f ( x ) , f ( a ) ) < ε {\displaystyle d(f(x),f(a))<\varepsilon } . Diz-se que f : M ⟶ N {\displaystyle f:M\longrightarrow N} é contínua quando ela é contínua em todos os pontos a ∈ M {\displaystyle a\in M} . Equivalentemente, f : M ⟶ N {\displaystyle f:M\longrightarrow N} é contínua no ponto a ∈ M {\displaystyle a\in M} quando, dada qualquer bola B ′ = B ( f ( a ) , ε ) {\displaystyle B'=B(f(a),\varepsilon )} de centro f ( a ) {\displaystyle f(a)} , pode-se encontrar uma bola B = B ( a , δ ) {\displaystyle B=B(a,\delta )} , de centro a {\displaystyle a} , tal que f ( B ) ⊂ B ′ {\displaystyle f(B)\subset B'} .
Homeomorfismos
Sejam M , N {\displaystyle M,N} espaços métricos. Um homeomorfismo de M {\displaystyle M} sobre N {\displaystyle N} é uma bijeção contínua f : M ⟶ N {\displaystyle f:M\longrightarrow N} cuja inversa f − 1 : N → M {\displaystyle f^{-1}:N\rightarrow M} também é uma bijeção contínua. Neste caso, diz-se que M {\displaystyle M} e N {\displaystyle N} são homeomorfos. Ás vezes se usa a expressão "equivalência topológica" em vez de "homeomorfismo". Dois espaços métricos homeomorfos são indistinguíveis do ponto de vista da Topologia. Uma propriedade de que goza um espaço M {\displaystyle M} é chamada de uma propriedade topológica quando todo espaço homeomorfo a M {\displaystyle M} também goza de tal propriedade. As propriedades topológicas se distinguem das propriedades métricas de M {\displaystyle M} que são preservadas pelas isométricas .
Diz-se que sequência { x n } n ∈ N {\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} com elementos num espaço métrico ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} converge para um elemento x ∈ X {\displaystyle x\in X} se para qualquer ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} existe um número natural n 0 = n 0 ( ϵ ) {\displaystyle n_{0}=n_{0}(\epsilon )} tal que d ( x , x n ) < ϵ {\displaystyle d(x,x_{n})<\epsilon } para todo n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } tal que n > n 0 {\displaystyle n>n_{0}} . Nessa ocasião, x {\displaystyle x} é o único elemento do espaço métrico com esta propriedade, e é chamado de limite da sequência, e escreve-se lim n → + ∞ x n = x {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n}=x} ou x n → x {\displaystyle x_{n}\to x} . Uma sequência { x n } n ∈ N {\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} com elementos num espaço métrico ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} é de Cauchy ou satisfaz o critério de Cauchy quando para todo ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} pode-se encontrar um número natural n 0 = n 0 ( ϵ ) {\displaystyle n_{0}=n_{0}(\epsilon )} de modo que d ( x n , x m ) < ϵ {\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\epsilon } para quaisquer números naturais m , n > n 0 {\displaystyle m,n>n_{0}} . Pode se mostrar que toda sequência convergente é de Cauchy, e um espaço métrico em que critério de Cauchy é suficiente para convergência é chamado de espaço métrico completo. Exemplos de espaços métricos completos incluem R , C , R n , C n {\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n}} e qualquer Espaço vetorial normado de dimensão finita.
