Conjunto de Mandelbrot

O conjunto tem o nome de Benoit B. Mandelbrot, um matemático do IBM Thomas J. Watson Research Center. Ele é mais conhecido por cunhar o termo fractal para descrever fenômenos (como litorais, flocos de neve, montanhas e árvores) cujos padrões se repetem em escalas cada vez menores. Mandelbrot afirma que ele e ele sozinho descobriram o conjunto de Mandelbrot – que tem propriedades fractais – cerca de uma década atrás. Ele se refere à sua imagem como sua "assinatura". Em seu livro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension, Mandelbrot usou o termo fractal para descrever um número de fenômenos matemáticos que pareciam exibir comportamento caótico ou surpreendente. Todos estes fenômenos envolviam a definição de alguma curva ou algum conjunto através do uso de algumas funções ou algoritmos recursivos. O conjunto de Mandelbrot é um desses fenômenos e leva o nome de seu descobridor. Mandelbrot descreveu seus primeiros passos em direção ao set em 1979 como "diversão irracional". Ele começou a usar um computador para mapear conjuntos de Julia, que são gerados pela inserção de números complexos em funções iterativas. As propriedades peculiares dos conjuntos foram descritas já em 1906 pelo matemático francês Pierre Fatou. Eles foram nomeados mais tarde para Gaston Julia, que afirmou com sucesso que seu trabalho nos sets cerca de doze anos depois teve maior significado do que o de Fatou. Mandelbrot, que nasceu [em 1924] na Polônia, leu o trabalho de ambos e estudou com Julia na década de 1940.

O conjunto de Mandelbrot foi criado por Benoît Mandelbrot como um índice ao conjunto de Julia: cada ponto no plano complexo corresponde a um conjunto de Julia diferente. Os pontos que pertencem ao conjunto de Mandelbrot correspondem precisamente aos conjuntos de Julia conexos, e os pontos fora do conjunto de Mandelbrot correspondem aos conjuntos de Julia desconexos. Intuitivamente, os conjuntos de Julia mais "interessantes" correspondem aos pontos próximos à fronteira do conjunto de Mandelbrot; pontos mais internos ao conjunto de Mandelbrot correspondem a formas geométricas relativamente simples, enquanto os pontos mais externos lembram poeira rodeada por manchas de cores. Alguns programas, como o Fractint, permitem que o usuário escolha um ponto e veja o conjunto de Julia correspondente, tornando fácil a navegação. Um dos descansos de tela do pacote xscreensaver apresenta uma animação dos diversos conjuntos de Julia relativos a um ponto que fica dançando na tela.

Dentro do conjunto de Mandelbrot, a iteração da sequência zn+1= zn²+c evolui de modo diferente para diferentes valores de c. Para valores de c no centro da grande cardióide, as iterações convergem para um ponto. Para valores de c dentro do grande bolbo à esquerda do cardióide, as iterações convergem para um ciclo de período 2. Para os outros bolbos, as iterações convergem para ciclos com diferentes períodos, de acordo com o número mostrado na figura seguinte. Note que no bolbo que fica exatamente no meio entre o bolbo com n=2 e o bolbo com n=3, o período do ciclo é n=2+3=5; no bolbo entre o bolbo com n=2 e o bolbo com n=5, o período do ciclo é n=2+5=7; no bolbo entre o bolbo com n=2 e o bolbo com n=7, o período do ciclo é n=2+7=9. De fato, há nesse quadrante do cardióide tantos bolbos quanto a quantidade de números reais entre 2 e 3! Se observarmos o movimento dos pontos num ciclo do bolbo com n=5, vemos que o ciclo salta sempre 2 componentes no sentido anti-horário em cada iteração. Podemos então designar esse ciclo pelo número racional 2/5 e dizer que o ciclo roda em torno de um ponto central numa rotação de 2/5 de revolução por cada iteração. E esse bolbo pode ser designado por «bolbo 2/5».

Pode-se mostrar que uma vez que o valor absoluto de z n é maior que 2 (na forma cartesiana, quando xn² + yn² > 2²) a sequência tenderá ao infinito e, portanto, c não pertence ao conjunto de Mandelbrot. Este valor, conhecido como valor de fuga, permite o término dos cálculos para pontos que não pertencem ao conjunto de Mandelbrot. Para aqueles que pertencem ao conjunto, ou seja, valores de c para os quais zn não tende ao infinito, o cálculo nunca irá terminar. Portanto, o cálculo deve ser terminado após um certo número de iterações determinado pelo programa. Isso resulta numa imagem que é apenas uma representação aproximada do conjunto verdadeiro. Hobbistas aprendem rapidamente a reconhecer as imperfeições nas imagens geradas, onde pontos que não pertencem ao conjunto de Mandelbrot são incluídos na representação do conjunto devido ao número insuficiente de iterações executadas pelo algoritmo. Nestas situações, é possível reajustar o programa para que seja executado um número maior de iterações ao custo de tornar o processo mais lento devido ao aumento da quantidade de cálculos para os pontos que pertencem ao conjunto.

Quando as pessoas falam sobre o conjunto de Mandelbrot, elas frequentemente se referem ao conjunto descrito acima. Entretanto, qualquer função mapeada a partir de, ou para, o campo complexo possui um conjunto de Mandelbrot que indica, para cada ponto, se o conjunto de Julia correspondente àquela função é ou não conexo. Seja f c ( z ) = z 3 + c {\displaystyle f_{c}(z)=z^{3}+c} . Para cada valor de c, desenhamos o conjunto de Julia J c {\displaystyle J_{c}} de f c ( z ) {\displaystyle f_{c}(z)} , e determinamos se ele é conexo ou não. Se J c {\displaystyle J_{c}} for conexo, então c pertence ao conjunto de Mandelbrot de { f c {\displaystyle f_{c}} }, senão, c não pertence ao conjunto. Isto também pode ser generalizado para conjuntos de Julia parametrizados por mais de dois números reais. Por exemplo, uma família de conjuntos de Julia parametrizada por três números reais será associada a um conjunto de Mandelbrot tridimensional. Claramente, as figuras geradas nos casos bidimensionais são, em geral, mais facilmente visualizáveis.

A banda australiana GangGajang tem uma música Time (and the Mandelbrot set), ou Tempo (e o conjunto de Mandelbrot), onde o termo Mandelbrot set (Conjunto de Mandelbrot) é livremente usado. O cantor americano Jonathan Coulton tem uma canção intitulada Mandelbrot Set, ou Conjunto de Mandelbrot, versando sobre a história do conjunto de Mandelbrot assim como a do próprio Benoît Mandelbrot.