Espaço conexo
Em topologia, conexidade (português brasileiro) ou conectividade (português europeu) é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.
Uma cisão de um espaço topológico X {\displaystyle X} é uma decomposição X = A ∪ B {\displaystyle X=A\cup B} em dois abertos disjuntos. Todo espaço admite sempre a cisão trivial em que A = X {\displaystyle A=X} e B = ∅ {\displaystyle B=\emptyset } . Um espaço topológico chama-se conexo quando admite apenas a cisão trivial.
Equivalências
Os subconjuntos ∅ {\displaystyle \emptyset } e X {\displaystyle X} são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de X {\displaystyle X} . Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então X {\displaystyle X} é conexo. Por outro lado, se existe A {\displaystyle A} não-vazio aberto e fechado em X {\displaystyle X} , então X {\displaystyle X} é desconexo.
Mesmo que um espaço X {\displaystyle X} não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela união disjunta de suas componentes conexas. A componente conexa C x {\displaystyle C_{x}} é o maior subconjunto conexo que contém x ∈ X {\displaystyle x\in X} . Para quaisquer dois pontos de X {\displaystyle X} , suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas. Por exemplo, para R − { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} -\{0\}} , a componente conexa de − 1 {\displaystyle -1} é ( − ∞ , 0 ) {\displaystyle (-\infty ,0)} e a componente conexa de 1 {\displaystyle 1} é ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty )} . No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.
Um tipo de conexidade mais estrita é a conexidade por caminhos. Um caminho num conjunto X ⊂ R n {\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}} é uma função contínua definida num intervalo real que passa por pontos de X {\displaystyle X} . Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho f {\displaystyle f} tal que esses pontos estejam na imagem de f {\displaystyle f} . Um conjunto se diz conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho. Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa. Por exemplo, no R 2 , {\displaystyle \mathbb {R} ^{2},} o gráfico da função f ( x ) = sen 1 x {\displaystyle f(x)={\mbox{sen}}{\frac {1}{x}}} para 0 < x ≤ 1 {\displaystyle 0<x\leq 1} com a origem ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} é conexo mas não é conexo por caminhos.
