Curvatura gaussiana
Em geometria diferencial, a curvatura gaussiana ou curvatura de Gauss de um ponto sobre uma superfície é o produto das curvaturas principais, κ1 e κ2, do ponto dado. É uma medida intrínsica de curvatura, i.e., seu valor depende somente de como as distâncias são medidas sobre a superfície, não da maneira como estão imersas no espaço. Este resultado é o índice do teorema egrégio de Gauss.
Nós representamos a superfície pelo teorema da função implícita como o gráfico de uma função f de 2 variáveis. Assumindo o ponto p como um ponto crítico, i.e. o gradiente de f anula-se (isto pode sempre ser alcançado por um movimento rígido apropriado), então a curvatura Gaussiana da superfície em p é o determinante da matriz Hessiana de f, i.e., o determinante da matriz 2 por 2 de segundas derivadas. Esta definição permite uma imediata distinção entre pontos de máximo/mínimo versus ponto de sela em termos do cálculo univariado.
A integral de superfície da curvatura Gaussiana sobre alguma região de uma superfície é chamada curvatura total. A curvatura total de um triângulo geodésico iguala o desvio da soma de seus ângulos de π {\displaystyle \pi } . A soma dos ângulos de um triângulo sobre uma superfície de curvatura positiva irá exceder π {\displaystyle \pi } , enquanto a soma dos ângulos de um triângulo sobre uma superfície de curvatura negativa irá ser menor que π {\displaystyle \pi } . Sobre uma superfície de curvatura zero, tal como o plano euclidiano, os ângulos irão somar precisamente π {\displaystyle \pi } . Um resultado mais geral é encontrado no artigo teorema de Gauss-Bonnet.
Teorema egrégio
O teorema egrégio de Gauss (em latim: "teorema notável") estabelece que a curvatura de uma superfície pode ser determinada pelas medidas de comprimento sobre a superfície em si. De fato, isto pode ser encontrado dado o pleno conhecimento da primeira forma fundamental e expresso via a primeira forma fundamental e suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Equivalentemente, o determinante da segunda forma fundamental de uma superfície em R3 pode ser assim expresso. A "notável", e surpreendente, característica deste teorema é que embora a definição da curvatura Gaussiana de uma superfície S em R3 certamente depender da forma na qual a superfície está localizada no espaço, o resultado final, a curvatura Gaussiana em si, é determinada pela própria métrica da superfície sem qualquer outras referências ao espaço ambiente: isto é uma invariante intrínseca. Em particular, a curvatura Gaussiana é invariante sob deformações isométricas da superfície.
Teorema de Gauss–Bonnet
O teorema de Gauss–Bonnet relaciona a curvatura total de uma superfície à sua característica de Euler e fornece uma importante relação entre as propriedades geométricas locais e as propriedades topológicas globais.
