Teoria de gauge
Em física, uma teoria de gauge é um tipo de teoria de campo na qual o Lagrangiano, e portanto a dinâmica do próprio sistema, não se altera sob transformações locais de acordo com certas famílias suaves de operações. Formalmente, o Lagrangiano é invariante sob essas transformações.
O conceito e o nome de teoria de gauge derivam do trabalho de Hermann Weyl em 1918. Weyl, numa tentativa de generalizar as ideias geométricas da relatividade geral para incluir o eletromagnetismo, conjecturou que a Eichinvarianz ou invariância sob a mudança de escala (ou "gauge") também poderia ser uma simetria local da relatividade geral. Após o desenvolvimento da mecânica quântica, Weyl, Vladimir Fock e Fritz London substituíram o simples fator de escala por uma quantidade complexa e transformaram a transformação de escala numa mudança de fase, que é uma simetria de gauge U(1). Isso explicou o efeito do campo eletromagnético na função de onda de uma partícula elementar carregada quântica. O artigo de Weyl de 1929 introduziu o conceito moderno de invariância de gauge posteriormente popularizado por Wolfgang Pauli em sua revisão de 1941. Em retrospecto, a formulação de James Clerk Maxwell, em 1864–65, da eletrodinâmica em "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field" sugeriu a possibilidade de invariância, quando ele afirmou que qualquer campo vetorial cujo rotacional se anula — e pode, portanto, normalmente ser escrito como um gradiente de uma função — poderia ser adicionado ao potencial vetorial sem afetar o campo magnético. De forma semelhante despercebida, David Hilbert havia derivado as equações de campo de Einstein postulando a invariância da ação sob uma transformação geral de coordenadas. A importância dessas invariâncias de simetria permaneceu despercebida até o trabalho de Weyl.
Simetrias globais e locais
Em física, a descrição matemática de qualquer situação física geralmente contém graus de liberdade em excesso; a mesma situação física é igualmente bem descrita por muitas configurações matemáticas equivalentes. Por exemplo, na dinâmica newtoniana, se duas configurações estão relacionadas por uma transformação de Galileu (uma mudança de referencial inercial) elas representam a mesma situação física. Essas transformações formam um grupo de "simetrias" (em termos matemáticos, "automorfismos") da teoria, e uma situação física corresponde não a uma configuração matemática individual, mas a uma classe de configurações relacionadas entre si por este grupo de simetria (ou seja, uma órbita de configurações sob a ação do grupo de automorfismos).
Campos de gauge
A versão "covariante de gauge" de uma teoria de gauge leva em conta este efeito introduzindo um campo de gauge (em linguagem matemática, uma conexão de Ehresmann) e formulando todas as taxas de variação em termos da derivada covariante em relação a esta conexão. O campo de gauge torna-se uma parte essencial da descrição de uma configuração matemática. Uma configuração na qual o campo de gauge pode ser eliminado por uma transformação de gauge tem a propriedade de que sua intensidade de campo (em linguagem matemática, sua curvatura) é zero em todos os lugares; uma teoria de gauge não está limitada a estas configurações. Em outras palavras, a característica distintiva de uma teoria de gauge é que o campo de gauge não apenas compensa uma má escolha do sistema de coordenadas; geralmente não há transformação de gauge que faça o campo de gauge desaparecer.
Experimentos físicos
As teorias de gauge usadas para modelar os resultados de experimentos físicos envolvem: Não podemos expressar as descrições matemáticas das "informações de configuração" e dos "possíveis resultados de medição", ou as "condições de contorno" do experimento, sem referência a um sistema de coordenadas particular, incluindo uma escolha de gauge. Supõe-se um experimento adequado isolado de influência "externa", que é em si uma declaração dependente do gauge. O manuseio incorreto das dependências de gauge nos cálculos das condições de contorno é uma fonte frequente de anomalias, e as abordagens para evitar anomalias classificam as teorias de gauge[necessário esclarecer].
Teorias de contínuo
As duas teorias de gauge mencionadas acima, a eletrodinâmica de contínuo e a relatividade geral, são teorias de campo de contínuo. As técnicas de cálculo numa teoria de contínuo assumem implicitamente que: A determinação da probabilidade de possíveis resultados de medição procede por: Estas suposições têm validade suficiente numa ampla gama de escalas de energia e condições experimentais para permitir que estas teorias façam previsões precisas sobre quase todos os fenômenos encontrados na vida quotidiana: luz, calor, eletricidade, eclipses, voos espaciais, etc. Elas falham apenas nas menores e maiores escalas devido a omissões nas próprias teorias, e quando as próprias técnicas matemáticas falham, mais notavelmente no caso de turbulência e outros fenômenos de caos.
Teorias quânticas de campos
Além destas teorias clássicas de campo contínuo, as teorias de gauge mais amplamente conhecidas são as teorias quânticas de campos, incluindo a eletrodinâmica quântica e o Modelo Padrão da física de partículas elementares. O ponto de partida de uma teoria quântica de campos é muito semelhante ao do seu análogo de contínuo: uma integral de ação covariante de gauge que caracteriza situações físicas "permitidas" de acordo com o princípio da ação mínima. No entanto, as teorias de contínuo e as quânticas diferem significativamente na forma como lidam com os graus de liberdade excessivos representados pelas transformações de gauge. As teorias de contínuo, e a maioria dos tratamentos pedagógicos das teorias quânticas de campos mais simples, usam uma prescrição de fixação de gauge para reduzir a órbita de configurações matemáticas que representam uma dada situação física a uma órbita menor relacionada por um grupo de gauge menor (o grupo de simetria global, ou talvez até mesmo o grupo trivial).
Eletromagnetismo clássico
Na eletrostática, pode-se discutir quer o campo elétrico, E, quer o seu correspondente potencial elétrico, V. O conhecimento de um deles torna possível encontrar o outro, exceto que os potenciais diferindo por uma constante, V ↦ V + C {\displaystyle V\mapsto V+C} , correspondem ao mesmo campo elétrico. Isto porque o campo elétrico está relacionado com variações do potencial de um ponto no espaço para outro, e a constante C seria cancelada ao subtrair para encontrar a variação do potencial. Em termos de cálculo vetorial, o campo elétrico é o gradiente do potencial, E = − ∇ V {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V} . Generalizando da eletricidade estática para o eletromagnetismo, temos um segundo potencial, o potencial vetor A, com
Exemplo: teoria de gauge escalar O(n)
O seguinte ilustra como a invariância de gauge local pode ser "motivada" heuristicamente a partir de propriedades de simetria global, e como ela leva a uma interação entre campos originalmente não interagentes. Considere um conjunto de n {\displaystyle n} campos escalares reais não interagentes, com massas iguais m. Este sistema é descrito por uma ação que é a soma da ação (usual) para cada campo escalar φ i {\displaystyle \varphi _{i}} O Lagrangiano (densidade) pode ser escrito de forma compacta como O termo ∂ μ Φ {\displaystyle \partial _{\mu }\Phi } é a derivada parcial de Φ {\displaystyle \Phi } ao longo da dimensão μ {\displaystyle \mu } .
Lagrangiano de Yang–Mills para o campo de gauge
A imagem de uma teoria de gauge clássica desenvolvida na secção anterior está quase completa, exceto pelo facto de que para definir as derivadas covariantes D, é necessário conhecer o valor do campo de gauge A ( x ) {\displaystyle A(x)} em todos os pontos do espaço-tempo. Em vez de especificar manualmente os valores deste campo, ele pode ser dado como solução de uma equação de campo. Exigindo ainda que o Lagrangiano que gera esta equação de campo seja também localmente invariante de gauge, uma forma possível para o Lagrangiano do campo de gauge é onde as F μ ν a {\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}} são obtidas a partir dos potenciais A μ a {\displaystyle A_{\mu }^{a}} , sendo as componentes de A ( x ) {\displaystyle A(x)} , por
Exemplo: eletrodinâmica
Como uma aplicação simples do formalismo desenvolvido nas secções anteriores, considere o caso da eletrodinâmica, com apenas o campo do elétron. A ação básica que gera a equação de Dirac para o campo do elétron é O grupo de gauge aqui é U(1), apenas rotações do ângulo de fase do campo, sendo a rotação particular determinada pela constante θ. "Localizar" esta simetria implica a substituição de θ por θ(x). Uma derivada covariante apropriada é então Identificando a "carga" e (não confundir com a constante matemática e na descrição da simetria) com a carga elétrica usual (esta é a origem do uso do termo em teorias de gauge), e o campo de gauge A(x) com o quadripotencial do campo eletromagnético, resulta num Lagrangiano de interação
As teorias de gauge são geralmente discutidas na linguagem da geometria diferencial. Matematicamente, um gauge é apenas uma escolha de uma (local) seção de algum fibrado principal. Uma transformação de gauge é apenas uma transformação entre duas dessas seções. Embora a teoria de gauge seja dominada pelo estudo das conexões (principalmente porque é estudada principalmente por físicos de altas energias), a ideia de uma conexão não é central para a teoria de gauge em geral. De fato, um resultado na teoria de gauge geral mostra que as representações afins (ou seja, módulos afins) das transformações de gauge podem ser classificadas como seções de um fibrado de jato satisfazendo certas propriedades. Existem representações que se transformam covalentemente ponto a ponto (chamadas pelos físicos de transformações de gauge do primeiro tipo), representações que se transformam como uma forma de conexão (chamadas pelos físicos de transformações de gauge do segundo tipo, uma representação afim) — e outras representações mais gerais, como o campo B na teoria BF. Existem realizações não lineares mais gerais, mas estas são extremamente complicadas. Ainda assim, os modelos sigma não lineares transformam-se não linearmente, portanto existem aplicações.
As teorias de gauge podem ser quantizadas por especialização de métodos que são aplicáveis a qualquer teoria quântica de campos. No entanto, devido às subtilezas impostas pelas restrições de gauge (veja a secção sobre Formalismo matemático, acima), existem muitos problemas técnicos a resolver que não surgem noutras teorias de campo. Ao mesmo tempo, a estrutura mais rica das teorias de gauge permite a simplificação de alguns cálculos: por exemplo, as identidades de Ward conectam diferentes constantes de renormalização.
Métodos e objetivos
A primeira teoria de gauge quantizada foi a eletrodinâmica quântica (QED). Os primeiros métodos desenvolvidos para isso envolveram a fixação de gauge e, em seguida, a aplicação da quantização canônica. O método de Gupta–Bleuler também foi desenvolvido para lidar com este problema. As teorias de gauge não abelianas são agora tratadas por uma variedade de meios. Os métodos de quantização são abordados no artigo sobre quantização. O principal objetivo da quantização é ser capaz de calcular amplitudes quânticas para vários processos permitidos pela teoria. Tecnicamente, elas reduzem aos cálculos de certas funções de correlação no estado de vácuo. Isto envolve uma renormalização da teoria.
Anomalias
Algumas das simetrias da teoria clássica revelam-se não válidas na teoria quântica; um fenômeno chamado de anomalia. Entre as mais conhecidas estão:
Um gauge puro é o conjunto de configurações de campo obtidas por uma transformação de gauge sobre a configuração de campo nula, ou seja, uma transformada de gauge de zero. Portanto, é uma "órbita de gauge" particular no espaço de configurações de campo. Assim, no caso abeliano, onde A μ ( x ) → A μ ′ ( x ) = A μ ( x ) + ∂ μ f ( x ) {\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow A'_{\mu }(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }f(x)} , o gauge puro é apenas o conjunto de configurações de campo A μ ′ ( x ) = ∂ μ f ( x ) {\displaystyle A'_{\mu }(x)=\partial _{\mu }f(x)} para todo f(x).
