David Hilbert
David Hilbert foi um matemático alemão. Foi eleito membro estrangeiro da Royal Society em 1928. David Hilbert é um dos mais notáveis matemáticos, e os tópicos de suas pesquisas são fundamentais em diversos ramos da matemática atual.
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Início da vida e educação
Hilbert, o primeiro dos dois filhos de Otto e Maria Teresa (Erdtmann) Hilbert, nasceu na província da Prússia, em Königsberg (de acordo com a declaração do próprio Hilbert) ou em Wehlau (conhecido desde 1946 como Znamensk), perto de Königsberg, onde seu pai trabalhou no momento de seu nascimento. No outono de 1872, Hilbert entrou na Friedrichskolleg Gymnasium (a mesma escola que Immanuel Kant tinha assistido a 140 anos antes), contudo, depois de um período infeliz, ele transferiu-se para o Wilhelm Gymnasium (Outono de 1879), graduando-se na primavera de 1880. Após a formatura, no outono de 1880, Hilbert matriculou-se na Universidade de Königsberg, o "Albertina ". Na primavera de 1882, o também nativo de Königsberg, Hermann Minkowski (dois anos mais jovem do que Hilbert, mas tão talentoso quanto), que se formara no início de seu ginásio e fora a Berlim para três semestres, voltou a Königsberg e entrou na universidade. "Hilbert sabia de sua sorte ao vê-lo. Apesar da desaprovação de seu pai, ele logo fez amizade com o tímido, mas dotado, Minkowski".
Carreira
Em 1884, Adolf Hurwitz chegou a Göttingen como um 'extraordinarius' (i.e. professor associado). Um intercâmbio científico intenso e rico entre os três começou, especialmente entre Minkowski e Hilbert, que exerceriam uma influência recíproca um com o outro em suas carreiras científicas. Em 1885, Hilbert obteve seu doutorado com uma tese orientada por Ferdinand von Lindemann e intitulada como Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen (Sobre as características invariantes de formas binárias especiais, em particular a função esférica harmônica). Hilbert permaneceu na Universidade de Königsberg como professor de 1886 a 1895.
A escola de Göttingen
Entre os estudantes de Hilbert, constam Hermann Weyl, o campeão de xadrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo e Carl Gustav Hempel. John von Neumann era seu assistente. Na universidade de Göttingen, Hilbert era cercado por um círculo social de alguns dos mais importantes matemáticos do século XX, como Emmy Noether e Alonzo Church. Entre seus 69 estudantes de pós-doutorado, estavam muitos dos quais iriam se tornar futuramente matemáticos famosos, como (com data de tese) Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) e Wilhelm Ackermann (1925). Entre 1902 e 1939, Hilbert foi editor do "Anais da Matemática", o principal jornal matemático na época.
Anos futuros
Hilbert viveu para ver os nazistas acabarem com muitos membros do corpo docente da Universidade de Göttingen em 1933. Daqueles que foram expulsos, estão inclusos Hermann Weyl (que tomou a posição de Hilbert quando ele se aposentou em 1930), Emmy Noether e Edmund Landau. Um que teve que deixar a Alemanha, Paul Bernays, colaborara com Hilbert na Lógica Matemática, publicando juntos o livro "Grundlagen der Mathematik" (Princípios da Matemática, que eventualmente apareceu em 2 volumes, em 1934 e 1939). Esta foi a consequência para o livro de Hilbert-Ackermann 'Princípios da Lógica Matemática' em 1928. Quando Hilbert morreu em 1943, os Nazistas haviam acabado de recompor a equipe da universidade, na medida em que muitos dos ex-professores tinham sido judeus ou casados com judeus. O funeral de Hilbert foi assistido por menos de uma dúzia de pessoas, dos quais somente dois eram colegas acadêmicos, dentre eles, Arnold Sommerfeld, um físico teórico e também nativo de Königsberg. A notícia de sua morte só tornou-se conhecida no mundo mais amplo seis meses depois.
Vida pessoal
Em 1892, Hilbert casou-se com Käthe Jerosch (1864-1945), "uma filha de um comerciante de Königsberg e uma jovem espontânea com uma independência de espírito que combinava com o seu próprio". Enquanto em Königsberg, tiveram seu único filho, Franz Hilbert (1893-1969). Em 1895, como resultado de uma intervenção em seu nome por Felix Klein, obteve o cargo de Professor de Matemática na Universidade de Göttingen, na época, o melhor centro de pesquisa para a matemática do mundo. Ele permaneceu lá para o resto de sua vida. O filho de Hilbert Franz sofreu, ao longo de sua vida, de uma doença mental não diagnosticada: seu intelecto inferior era uma terrível decepção para seu pai e este infortúnio era uma questão de angústia para os matemáticos e estudantes de Göttingen. Além disso, Minkowski, o "melhor e mais verdadeiro amigo" de Hilbert, morreu prematuramente de um apêndice rompido em 1909.
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O livro Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da Geometria) foi publicado inicialmente em 1899, com modificações e acréscimos em diversas edições posteriores. Nesse livro, Hilbert apresenta um novo conjunto de axiomas para a geometria, muito maior que o sistema original de Euclides, sistematizando desenvolvimentos realizados no século XIX e apresentando o sistema com superior rigor formal. Além do desenvolvimento geométrico, os Fundamentos de Geometria apresentam demonstrações de independência e consistência relativa de alguns dos axiomas, o que constitui um desenvolvimento meta-teórico.
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Hilbert vivenciou o fim da dinastia matemática da Universidade de Göttingen, a partir de 1933, quando Adolf Hitler assumiu o poder na Alemanha, tendo então os nazistas afastado a maior parte dos membros da faculdade. Cerca de um ano após este desastre, Hilbert frequentou um banquete e sentou-se ao lado do novo ministro da educação nazista, Bernhard Rust. Rust perguntou, "É mesmo verdade, professor, que o seu instituto sofreu muito com a partida dos judeus e dos seus amigos?" Hilbert respondeu, "Sofreu? Não, Herr Minister, não sofreu. Ele simplesmente deixou de existir". Quando Hilbert faleceu em 1943, os nazistas tinham, praticamente, acabado com a universidade, uma vez que muitos de seus membros eram judeus, ou casados com judeus. Seu funeral foi presenciado por menos de uma dúzia de pessoas, das quais apenas duas eram colegas da universidade.
A curva de Hilbert é uma curva fractal contínua que foi descrita pela primeira vez por David Hilbert em 1891.
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Hilbert unificou o campo da teoria algébrica dos números com seu tratado Zahlbericht de 1897 (literalmente "relatório sobre números"). Ele também resolveu um problema significativo de teoria dos números formulado por Waring em 1770. Como com o teorema da finitude, ele usou uma prova de existência que mostra que deve haver soluções para o problema, em vez de fornecer um mecanismo para produzir as respostas. Ele então tinha pouco mais a publicar sobre o assunto; mas o surgimento de formas modulares de Hilbert na dissertação de um estudante significa que seu nome está ainda mais ligado a uma área importante. Ele fez uma série de conjecturas sobre a teoria do campo de classe. Os conceitos foram altamente influentes, e sua própria contribuição continua viva nos nomes do campo de classe de Hilbert e do símbolo de Hilbert da teoria de campo de classe local. Os resultados foram provados principalmente em 1930, após o trabalho de Teiji Takagi.
Resolvendo o Problema de Gordan
O primeiro trabalho de Hilbert sobre funções invariantes levou-o à demonstração, em 1888, de seu famoso teorema da finitude. Vinte anos antes, Paul Gordan havia demonstrado o teorema da finitude de geradores para formas binárias usando uma abordagem computacional complexa. Tentativas de generalizar seu método para funções com mais de duas variáveis falharam devido à enorme dificuldade dos cálculos envolvidos. Para resolver o que ficou conhecido em alguns círculos como o "Problema de Gordan, Hilbert percebeu que era necessário tomar um caminho completamente diferente. Como resultado, ele demonstrou o teorema base de Hilbert, mostrando a existência de um conjunto finito de geradores, para os invariantes dos quânticos em qualquer número de variáveis, mas de forma abstrata. Ou seja, ao demonstrar a existência de tal conjunto, não era uma prova construtiva — não exibia "um objeto" —, mas sim uma prova de existência e se baseava no uso da lei do meio excluído em uma extensão infinita.
Axiomatização da geometria
O texto Grundlagen der Geometrie (tr.: Fundamentos da Geometria) publicado por Hilbert em 1899 propõe um conjunto formal, chamado axiomas de Hilbert, substituindo os axiomas tradicionais de Euclides. Evitam fragilidades identificadas nas de Euclides, cujas obras na época ainda eram usadas à moda dos livros didáticos. É difícil especificar os axiomas usados por Hilbert sem se referir à história de publicação dos Grundlagen, uma vez que Hilbert os alterou e modificou várias vezes. A monografia original foi rapidamente seguida por uma tradução francesa, na qual Hilbert acrescentou V.2, o Axioma da Completude. Uma tradução para o inglês, autorizada por Hilbert, foi feita por E.J. Townsend e protegida por direitos autorais em 1902. Esta tradução incorporou as alterações feitas na tradução francesa e, portanto, é considerada uma tradução da 2ª edição. Hilbert continuou a fazer mudanças no texto e várias edições apareceram em alemão. A 7ª edição foi a última a aparecer na vida de Hilbert. Novas edições se seguiram ao dia 7, mas o texto principal não foi revisado.
Os 23 problemas
Hilbert apresentou uma lista altamente influente consistindo de 23 problemas não resolvidos no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris em 1900. Esta é geralmente considerada como a compilação mais bem-sucedida e profundamente considerada de problemas abertos já produzida por um matemático individual. Depois de retrabalhar os fundamentos da geometria clássica, Hilbert poderia ter extrapolado para o resto da matemática. Sua abordagem diferiu, no entanto, do posterior "fundacionista" Russell-Whitehead ou "enciclopedista" Nicolas Bourbaki, e de seu contemporâneo Giuseppe Peano. A comunidade matemática como um todo poderia se envolver em problemas dos quais ele havia identificado como aspectos cruciais de áreas importantes da matemática.
Formalismo
Em um relato que se tornou padrão em meados do século, o conjunto de problemas de Hilbert foi também uma espécie de manifesto que abriu caminho para o desenvolvimento da escola formalista, uma das três principais escolas de matemática do século 20. Segundo o formalista, matemática é a manipulação de símbolos de acordo com regras formais acordadas. É, portanto, uma atividade autônoma do pensamento. Há, no entanto, espaço para dúvidas se as próprias visões de Hilbert eram simplisticamente formalistas nesse sentido. Em 1920, Hilbert propôs um projeto de pesquisa em metamatemática que ficou conhecido como programa de Hilbert. Ele queria que a matemática fosse formulada sobre uma base lógica sólida e completa. Ele acreditava que, em princípio, isso poderia ser feito mostrando que:
Análise funcional
Por volta de 1909, Hilbert dedicou-se ao estudo de equações diferenciais e integrais; Seu trabalho teve consequências diretas para partes importantes da análise funcional moderna. Para realizar esses estudos, Hilbert introduziu o conceito de um espaço euclidiano de dimensão infinita, mais tarde chamado de espaço de Hilbert. Seu trabalho nesta parte da análise forneceu a base para importantes contribuições para a matemática da física nas próximas duas décadas, embora de uma direção inesperada. Mais tarde, Stefan Banach ampliou o conceito, definindo espaços Banach. Os espaços de Hilbert são uma classe importante de objetos na área de análise funcional, particularmente da teoria espectral de operadores lineares auto-adjuntos, que cresceu em torno dela durante o século 20.
Física
Até 1912, Hilbert era quase exclusivamente um matemático puro. Ao planejar uma visita de Bonn, onde estava imerso no estudo de física, seu colega matemático e amigo Hermann Minkowski brincou que ele teve que passar 10 dias em quarentena antes de poder visitar Hilbert. Na verdade, Minkowski parece responsável pela maioria das investigações físicas de Hilbert antes de 1912, incluindo seu seminário conjunto sobre o assunto em 1905. Em 1912, três anos após a morte de seu amigo, Hilbert voltou seu foco para o assunto quase exclusivamente. Ele arranjou um "professor de física" para si. Ele começou a estudar a teoria cinética dos gases e passou para a teoria elementar da radiação e a teoria molecular da matéria. Mesmo após o início da guerra, em 1914, ele continuou seminários e aulas onde as obras de Albert Einstein e outros foram acompanhadas de perto.
Suas obras coletadas (Gesammelte Abhandlungen) foram publicadas várias vezes. As versões originais de seus artigos continham "muitos erros técnicos de grau variado"; Quando a coleção foi publicada pela primeira vez, os erros foram corrigidos e descobriu-se que isso poderia ser feito sem grandes mudanças nas afirmações dos teoremas, com uma exceção - uma alegada prova da hipótese do continuum. Os erros foram, no entanto, tão numerosos e significativos que Olga Taussky-Todd levou três anos para fazer as correções.
