Décimo nono problema de Hilbert
O décimo nono problema de Hilbert é um dos vinte e três Problemas de Hilbert, publicados em 1900 pelo matemático alemão David Hilbert, e questiona se as soluções de problemas regulares no cálculo de variações são sempre necessariamente analíticas. Informalmente, e talvez menos diretamente, dado que o conceito de Hilbert de um "problema variacional regular" identifica precisamente um problema variacional cujas equações de Euler-Lagrange são uma equação diferencial parcial elíptica com coeficientes analíticos, o décimo nono problema de Hilbert, apesar de sua afirmação aparentemente técnica, simplesmente pergunta se, nesta classe de equação em derivadas parciais, qualquer função solução herda a estrutura relativamente simples e bem entendida da equação resolvida.
As origens do problema
"Um dos feitos mais notáveis em todos os elementos da teoria das funções analíticas me parece ser este: que existem equações diferenciais parciais cujas integrais são todas necessariamente analíticas das variáveis independentes, é dizer, em suma, que equações só são suscetíveis quando são analíticas." David Hilbert, em agosto de 1900, apresentou o agora chamado de décimo nono problema de Hilbert, junto aos outros 22 problemas, em seu discurso no segundo Congresso Internacional de Matemáticos. Hilbert afirma que, em sua opinião, um dos fatos mais incríveis da teoria das funções analíticas é que existem classes de equações diferenciais parciais que admitem só esse tipo de funções como soluções, alegando a equação de Laplace, a equação de Liouville, a superfície minimal e uma classe de equações diferenciais parciais lineares estudadas por Charles Émile Picard como exemplos. Depois, observa o fato de que a maioria das equações diferenciais parciais que compartilham esta propriedade são a equação de Euler-Lagrange de um tipo de problema variacional bem definido, que apresenta as três seguintes propriedades:
O caminho para a solução completa
Hilbert propôs seu décimo nono problema como um problema de regularidade para uma classe de equação diferencial parcial elíptica com coeficientes analíticos. Portanto, os primeiros esforços dos pesquisadores que procuraram resolvê-lo se dirigiram a estudar a regularidade das soluções clássicas das equações pertencentes a esta classe. Para as soluções C 3 , o problema de Hilbert foi respondido pelo ucraniano Sergei Natanovich Bernstein em sua tese de 1904 Sur la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles du second ordre, em que demonstrou que as soluções de C 3 de equações analíticas elípticas não lineares em 2 variáveis são analíticas.
Contra exemplos a várias generalizações do problema
A resposta de tanto De Giorgi quanto de Nash ao décimo nono problema de Hilbert estimulou o surgimento do questionamento de que se essa mesma conclusão também era válida para as equações de Euler-Lagrange de funcional mais gerais. No final da década de 1960, Maz'já,De Giorgi e Giusti e Mirandaconstruíram vários contra exemplos de forma independente, evidenciando que, em geral, não há esperanças de provar este tipo de resultados de regularidade sem agregar mais hipótese. Precisamente, Maz'ya forneceu diversos contra exemplos que envolvem uma equação elíptica de ordem maior do que dois com coeficientes analíticos: para os experientes, o facto de que este tipo de equações pudessem ter soluções não analíticas e inclusive não suaves causou sensação. Além disso, De Giorgi e Giusti e Miranda deram contra exemplos que mostram que, no caso de uma solução que detenha um valor vetorial em lugar de um valor escalar, não é necessário que seja analítica: o exemplo de De Giorgi consiste num sistema elíptico com coeficientes dimensionados, enquanto o de Giusti e Miranda tem coeficientes analíticos. Mais tarde, Nečas proporcionou outros exemplos mais refinados para o problema de valores vectoriais.
O teorema chave demonstrado por De Giorgi é uma estimativa a priori que estabelece que se u {\displaystyle u} é uma solução de uma equação em derivadas parciais linear de segunda ordem estritamente elíptica adequada da forma e u {\displaystyle u} tem derivadas de primeira ordem integráveis quadradas, então u {\displaystyle u} é contínua de Hölder.
O problema de Hilbert pergunta se os minimizadores de w {\displaystyle w} de uma energia funcional como são analíticos. Aqui, w {\displaystyle w} é uma função em algum conjunto compacto U {\displaystyle U} de Rn, D w {\displaystyle Dw} é seu vetor gradiente e L {\displaystyle L} é o Lagrangiano, uma função das derivadas de w {\displaystyle w} que satisfaz determinadas condições de crescimento, suavidade e convexidade. A suavidade se pode demonstrar ao utilizar o teorema de De Giorgi como está a seguir. As equações de Euler-Lagrange para esse problema variacional são a equação não linear e diferenciar isto com respeito a x k {\displaystyle x_{k}} dá Isto significa que u = w x k {\displaystyle u=w_{x_{k}}} satisfaz a equação linear de modo que segundo o resultado de De Giorgi, a solução w tem primeiras derivadas contínuas de Hölder, sempre que a matriz L p i p j {\displaystyle L_{p_{i}p_{j}}} esteja dimensionada. Quando este não é o caso, é necessário um passo a mais: deve-se demonstrar que a solução w {\displaystyle w} é contínua de Lipschitz, isto é, o gradiente D w {\displaystyle Dw} é uma função L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} .
Nash deu uma estimativa de continuidade para as soluções da equação parabólica onde u é uma função dimensionada de x1, ..., xn, t, definida para t≥0. Segundo sua estimativa, Nash pôde deduzir uma estimativa de continuidade para soluções da equação elíptica considerando o caso especial no que u não depende de t.
