Fração

No antigo Egito por volta do ano 3000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do Rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizavam os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas. Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada. Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno. Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como a b , {\displaystyle {\frac {a}{b}},} designa o inteiro dividido em b {\displaystyle {b}} partes iguais ao qual usa-se o número a {\displaystyle {a}} de partes. Neste caso, a {\displaystyle {a}} corresponde ao numerador, enquanto b {\displaystyle {b}} corresponde ao denominador. O denominador corresponde ao número de partes que um todo será dividido e o numerador corresponde ao número de partes que serão consideradas. Ex.: Uma professora tem que dividir três folhas de papel de seda entre quatro alunos, como ela pode fazer isso? Cada aluno ficara com 3:4 = 3 4 {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}} (lê-se três quartos) da folha. Ou seja, você vai dividir cada folha em 4 partes e distribuir 3 para cada aluno. Por exemplo, a fração 56 8 {\displaystyle {\tfrac {56}{8}}} (lê-se cinquenta e seis oitavos) designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A divisão é a operação inversa da multiplicação.

A leitura de uma fração depende do seu denominador, podendo ser dividida em dois grupos. O primeiro grupo compreende os denominadores iguais a 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} , 4 {\displaystyle 4} , 5 {\displaystyle 5} , 6 {\displaystyle 6} , 7 {\displaystyle 7} , 8 {\displaystyle 8} , 9 {\displaystyle 9} , 10 {\displaystyle 10} , 100 {\displaystyle 100} e 1000 {\displaystyle 1000} . ∗ {\displaystyle *} Lê-se primeiro o numerador seguido de seu denominador. 3 2 ⇒ {\displaystyle {\frac {3}{2}}\Rightarrow } três metades; 2 6 ⇒ {\displaystyle \qquad \qquad \qquad {\frac {2}{6}}\Rightarrow } dois sextos; 1 10 ⇒ {\displaystyle \qquad \qquad \qquad {\frac {1}{10}}\Rightarrow } um décimo; 1 3 ⇒ {\displaystyle {\frac {1}{3}}\Rightarrow } um terço; 4 7 ⇒ {\displaystyle \qquad \qquad \qquad \quad {\frac {4}{7}}\Rightarrow } quatro sétimos; 8 100 ⇒ {\displaystyle \qquad \qquad {\frac {8}{100}}\Rightarrow } oito centésimos;

São frações onde o numerador, o denominador ou ambos possuem frações, também são conhecidas por Frações Complexas. Exemplo: 2 7 5 9 {\displaystyle {{\frac {2}{7}} \over {\frac {5}{9}}}} , 17 11 + 3 14 6 11 ⋅ 1 3 {\displaystyle {{\frac {17}{11}}+{\frac {3}{14}} \over {\frac {6}{11}}\cdot {\frac {1}{3}}}} , 2 3 5 {\displaystyle {{\frac {2}{3}} \over 5}} , 11 7 16 + 1 2 ⋯ {\displaystyle {11 \over {\frac {7}{16}}+{\frac {1}{2}}}\cdots } É a fração onde o numerador é igual a 1 {\displaystyle 1} e o denominador é um inteiro positivo. Exemplo: 1 5 {\displaystyle {\frac {1}{5}}} A soma das frações unitárias, distintas entre si é chamada de Fração Egípcia, pois para os egípcios era mais prático e fácil de comparar as quantidades dessa forma. Exemplo: 1 3 + 1 15 = 2 5 {\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}={\frac {2}{5}}} . Para explicar os métodos egípcios nas decomposições de uma fração em uma soma de frações unitárias, usaremos duas afirmações:

Comparar frações significa analisar qual representa a maior ou menor quantidade ou ainda, se elas são iguais(equivalentes). Para comparar as frações temos duas situações: 1 ∘ ) {\displaystyle 1^{\circ })} As frações possuem denominadores iguais: Para analisar as frações com mesmo denominador, basta verificar seu numerador. Exemplo: Temos as seguinte frações 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} e 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} , como 2 {\displaystyle 2} é maior que 1 {\displaystyle 1} , então 2 3 > 1 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}>{\frac {1}{3}}} . 2 ∘ ) {\displaystyle 2^{\circ })} As frações possuem denominadores diferentes: Para compararmos frações com denominadores diferentes precisamos reduzi-las a um mesmo denominador. Podemos fazer de dois modos: Dadas as seguintes frações: 2 5 {\displaystyle {\frac {2}{5}}} e 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} . faremos o m m c {\displaystyle mmc} entre os dois denominadores e ao obter o resultado transformaremos em novas frações equivalentes a primeira e com denominadores iguais.

Assim como na comparação de frações, na adição e subtração temos dois casos: ⊳ {\displaystyle \vartriangleright } Com denominadores iguais; ⊳ {\displaystyle \vartriangleright } Com denominadores diferentes. 1 ∘ ) {\displaystyle 1^{\circ })} Frações com o mesmo denominador: Para frações com denominador em comum, somamos ou subtraímos os numeradores de acordo com a operação solicitada e mantemos o denominador. a ) {\displaystyle \qquad \qquad a)} 2 9 + 5 9 = 2 + 5 9 = 7 9 {\displaystyle {\frac {2}{9}}+{\frac {5}{9}}={\frac {2+5}{9}}={\frac {7}{9}}} b ) {\displaystyle \qquad \qquad b)} 5 3 − 1 3 = 5 − 1 3 = 4 3 {\displaystyle {\frac {5}{3}}-{\frac {1}{3}}={\frac {5-1}{3}}={\frac {4}{3}}} Essa expressão pode ser escrita também deste modo: 1 2 3 − 1 3 = 1 2 − 1 3 = 1 1 3 {\displaystyle \quad 1{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3}}=1{\frac {2-1}{3}}=1{\frac {1}{3}}} ∗ {\displaystyle *} no caso de ter duas frações mistas, somamos ou subtraímos os números inteiros, mantemos o denominador e somamos ou subtraímos o numerador.

Tendo as seguintes frações a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} e c d {\displaystyle {\frac {c}{d}}} , para multiplica-las basta fazer o produto de seus numeradores e o produto de seus denominadores, temos então: a b × c d = a ⋅ c b ⋅ d {\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}} , com a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} e d ∈ R {\displaystyle d\in \mathbb {R} } Exemplo: 2 3 × 1 3 = 2 ⋅ 1 3 ⋅ 3 = 2 9 {\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 3}}={\frac {2}{9}}} No caso de um número inteiro multiplicar uma fração, fazemos o produto do número inteiro com o numerador e conservamos o denominador, isso ocorre porque o número inteiro na fração possui como denominador o número 1 {\displaystyle 1} , e qualquer número multiplicado por 1 {\displaystyle 1} é ele mesmo. Exemplo: 1 × 2 3 = 1 ⋅ 2 3 = 2 3 {\displaystyle 1\times {\frac {2}{3}}={\frac {1\cdot 2}{3}}={\frac {2}{3}}}

Para efetuar a divisão entre duas frações, multiplica-se a fração que está no numerador pelo inverso da fração que está no denominador. Ex.: 3 4 5 2 = 3 4 × 2 5 = 6 20 = 3 10 . {\displaystyle {\frac {\frac {3}{4}}{\frac {5}{2}}}={\frac {3}{4}}\times {\frac {2}{5}}={\frac {6}{20}}={\frac {3}{10}}.} No último passo foi feita Simplificação de Frações.

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão: ( 1 2 ) 2 = 1 2 2 2 = 1 4 = 0 , 25 {\displaystyle \left({\dfrac {1}{2}}\right)^{2}={\dfrac {1^{2}}{2^{2}}}={\dfrac {1}{4}}=0,25} Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado: ( 1 2 ) 2 = ( 0 , 5 ) 2 = 0 , 25 {\displaystyle \left({\dfrac {1}{2}}\right)^{2}=({0,5})^{2}=0,25}

A raiz de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação: 1 4 = 1 4 = 1 2 = 0 , 5 {\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{4}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {4}}}={\frac {1}{2}}=0,5} E, analogamente, é possível fazer a divisão antes da radiciação.