Desigualdade de Cauchy-Schwarz
A desigualdade de Cauchy–Schwarz é um limite superior para o valor absoluto do produto interno entre dois vetores em um espaço com produto interno em termos do produto das normas dos vetores. É considerada uma das desigualdades mais importantes e amplamente utilizadas na matemática.
A desigualdade de Cauchy–Schwarz afirma que para todos os vetores u {\displaystyle \mathbf {u} } e v {\displaystyle \mathbf {v} } de um espaço com produto interno onde ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } é o produto interno. Exemplos de produtos internos incluem o produto escalar real e complexo; veja os exemplos em produto interno. Todo produto interno dá origem a uma norma euclidiana ℓ 2 {\displaystyle \ell _{2}} , chamada de norma canônica ou norma induzida, onde a norma de um vetor u {\displaystyle \mathbf {u} } é denotada e definida por ‖ u ‖ := ⟨ u , u ⟩ , {\displaystyle \|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }},} onde ⟨ u , u ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle } é sempre um número real não negativo (mesmo que o produto interno seja de valor complexo). Tomando a raiz quadrada de ambos os lados da desigualdade acima, a desigualdade de Cauchy–Schwarz pode ser escrita em sua forma mais familiar em termos da norma:
Lema de Sedrakyan – números reais positivos
A desigualdade de Sedrakyan, também conhecida como desigualdade de Bergström, forma de Engel, lema de Titu (ou lema T2), afirma que para números reais u 1 , u 2 , … , u n {\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}} e números reais positivos v 1 , v 2 , … , v n {\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}} : ( u 1 + u 2 + ⋯ + u n ) 2 v 1 + v 2 + ⋯ + v n ≤ u 1 2 v 1 + u 2 2 v 2 + ⋯ + u n 2 v n , {\displaystyle {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}\leq {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}},} ou, usando notação de somatório, ( ∑ i = 1 n u i ) 2 ∑ i = 1 n v i ≤ ∑ i = 1 n u i 2 v i . {\displaystyle {\dfrac {\left(\sum \limits _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}.}
R2 - O plano
O espaço vetorial real R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} denota o plano bidimensional. É também o espaço euclidiano bidimensional onde o produto interno é o produto escalar. Se u = ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2})} e v = ( v 1 , v 2 ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2})} então a desigualdade de Cauchy–Schwarz se torna: ⟨ u , v ⟩ 2 = ( ‖ u ‖ ‖ v ‖ cos θ ) 2 ≤ ‖ u ‖ 2 ‖ v ‖ 2 , {\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}={\bigl (}\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta {\bigr )}^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},} onde θ {\displaystyle \theta } é o ângulo entre u {\displaystyle \mathbf {u} } e v {\displaystyle \mathbf {v} } .
Rn: espaço euclidiano n-dimensional
No espaço euclidiano R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} com o produto interno padrão, que é o produto escalar, a desigualdade de Cauchy–Schwarz se torna: ( ∑ i = 1 n u i v i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n u i 2 ) ( ∑ i = 1 n v i 2 ) . {\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}{\biggr )}^{2}\leq {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}{\biggr )}.} A desigualdade de Cauchy–Schwarz pode ser provada usando apenas álgebra elementar neste caso, observando que a diferença entre o lado direito e o lado esquerdo é 1 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( u i v j − u j v i ) 2 ≥ 0 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i})^{2}\geq 0}
Cn: espaço complexo n-dimensional
Se u , v ∈ C n {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}} com u = ( u 1 , … , u n ) {\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n})} e v = ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})} (onde u 1 , … , u n ∈ C {\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} } e v 1 , … , v n ∈ C {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C} } ) e se o produto interno no espaço vetorial C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} é o produto interno complexo canônico (definido por ⟨ u , v ⟩ := u 1 v 1 ¯ + ⋯ + u n v n ¯ , {\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},} onde a barra é usada para conjugação complexa), então a desigualdade pode ser reescrita mais explicitamente como segue: | ⟨ u , v ⟩ | 2 = | ∑ k = 1 n u k v ¯ k | 2 ≤ ⟨ u , u ⟩ ⟨ v , v ⟩ = ( ∑ k = 1 n u k u ¯ k ) ( ∑ k = 1 n v k v ¯ k ) = ∑ j = 1 n | u j | 2 ∑ k = 1 n | v k | 2 . {\displaystyle {\bigl |}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\bigr |}^{2}={\Biggl |}\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {v}}_{k}{\Biggr |}^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {u}}_{k}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}v_{k}{\bar {v}}_{k}{\biggr )}=\sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2}.}
L2
Para o espaço com produto interno de funções de quadrado integrável de valor complexo, vale a seguinte desigualdade. | ∫ R n f ( x ) g ( x ) ¯ d x | 2 ≤ ∫ R n | f ( x ) | 2 d x ∫ R n | g ( x ) | 2 d x . {\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bigl |}g(x){\bigr |}^{2}\,dx.} A desigualdade de Hölder é uma generalização desta.
Análise
Em qualquer espaço com produto interno, a desigualdade triangular é uma consequência da desigualdade de Cauchy–Schwarz, como agora é mostrado: ‖ u + v ‖ 2 = ⟨ u + v , u + v ⟩ = ‖ u ‖ 2 + ⟨ u , v ⟩ + ⟨ v , u ⟩ + ‖ v ‖ 2 onde ⟨ v , u ⟩ = ⟨ u , v ⟩ ¯ = ‖ u ‖ 2 + 2 Re ⟨ u , v ⟩ + ‖ v ‖ 2 ≤ ‖ u ‖ 2 + 2 | ⟨ u , v ⟩ | + ‖ v ‖ 2 ≤ ‖ u ‖ 2 + 2 ‖ u ‖ ‖ v ‖ + ‖ v ‖ 2 usando CS = ( ‖ u ‖ + ‖ v ‖ ) 2 . {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}&=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle &&\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ onde }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+2\operatorname {Re} \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |+\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ usando CS}}\\&={\bigl (}\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|{\bigr )}^{2}.&&\end{alignedat}}}
Geometria
A desigualdade de Cauchy–Schwarz permite estender a noção de "ângulo entre dois vetores" a qualquer espaço com produto interno real definindo: cos θ u v = ⟨ u , v ⟩ ‖ u ‖ ‖ v ‖ . {\displaystyle \cos \theta _{\mathbf {u} \mathbf {v} }={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}.} A desigualdade de Cauchy–Schwarz prova que esta definição é sensata, mostrando que o lado direito está no intervalo [−1, 1] e justifica a noção de que os espaços de Hilbert (reais) são simplesmente generalizações do espaço euclidiano. Também pode ser usada para definir um ângulo em espaços com produto interno complexos, tomando o valor absoluto ou a parte real do lado direito, como é feito ao extrair uma métrica da fidelidade quântica.
Álgebra linear
A desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser usada para provar o teorema espectral para operadores auto-adjuntos no caso de dimensão finita. Seja A {\displaystyle A} um operador auto-adjunto em um espaço com produto interno de dimensão finita e u {\displaystyle \mathbf {u} } um vetor não nulo que maximiza ‖ A u ‖ ‖ u ‖ {\displaystyle {\frac {\|A\mathbf {u} \|}{\|\mathbf {u} \|}}} . A existência de u {\displaystyle \mathbf {u} } é garantida pelo teorema de Heine-Borel. Se A u = 0 {\displaystyle A\mathbf {u} =\mathbf {0} } então u {\displaystyle \mathbf {u} } é um autovetor de A {\displaystyle A} . Caso contrário, a propriedade de maximização de u {\displaystyle \mathbf {u} } implica que ‖ A u ‖ ‖ u ‖ ≥ ‖ A ( A u ) ‖ ‖ A u ‖ . {\displaystyle {\frac {\|A\mathbf {u} \|}{\|\mathbf {u} \|}}\geq {\frac {\|A(A\mathbf {u} )\|}{\|A\mathbf {u} \|}}.} Na outra direção, a desigualdade de Cauchy-Schwarz implica que ‖ A u ‖ 2 = ⟨ A u , A u ⟩ = ⟨ u , A 2 u ⟩ ≤ ‖ u ‖ ‖ A 2 u ‖ , {\displaystyle \|A\mathbf {u} \|^{2}=\langle A\mathbf {u} ,A\mathbf {u} \rangle =\langle \mathbf {u} ,A^{2}\mathbf {u} \rangle \leq \|\mathbf {u} \|\|A^{2}\mathbf {u} \|,} portanto a igualdade vale. Pela caracterização da igualdade, u {\displaystyle \mathbf {u} } e A 2 u {\displaystyle A^{2}\mathbf {u} } são linearmente dependentes, portanto u {\displaystyle \mathbf {u} } é um autovetor de A 2 {\displaystyle A^{2}} . A partir daí é direto deduzir que A {\displaystyle A} tem um autovetor; então o teorema espectral segue tomando o complemento ortogonal e argumentando por indução na dimensão do espaço com produto interno.
Teoria das probabilidades
Sejam X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} variáveis aleatórias. Então a desigualdade da covariância é dada por: Var ( X ) ≥ Cov ( X , Y ) 2 Var ( Y ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq {\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)^{2}}{\operatorname {Var} (Y)}}.} Após definir um produto interno no conjunto das variáveis aleatórias usando a esperança de seu produto, ⟨ X , Y ⟩ := E ( X Y ) , {\displaystyle \langle X,Y\rangle :=\operatorname {E} (XY),} a desigualdade de Cauchy–Schwarz se torna | E ( X Y ) | 2 ≤ E ( X 2 ) E ( Y 2 ) . {\displaystyle {\bigl |}\operatorname {E} (XY){\bigr |}^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).}
Teoria dos grafos
Na teoria dos grafos extremal, a desigualdade de Cauchy-Schwarz é usada para provar o teorema de Mantel, que afirma que o número de arestas em um grafo sem triângulos com n {\displaystyle n} vértices é limitado superiormente por ⌊ n 2 4 ⌋ {\displaystyle \lfloor {\frac {n^{2}}{4}}\rfloor } arestas. Considere dois vértices adjacentes quaisquer x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} no grafo com graus d ( x ) {\displaystyle d(x)} e d ( y ) {\displaystyle d(y)} respectivamente. Como o grafo não tem triângulos, as vizinhanças de x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} são disjuntas, o que dá d ( x ) + d ( y ) ≤ n {\displaystyle d(x)+d(y)\leq n} . Somando esta desigualdade sobre todos os vértices obtém-se o seguinte.
Existem muitas provas diferentes da desigualdade de Cauchy–Schwarz além das apresentadas abaixo. Ao consultar outras fontes, há frequentemente duas fontes de confusão. Primeiro, alguns autores definem ⟨⋅,⋅⟩ como linear no segundo argumento em vez do primeiro. Segundo, algumas provas são válidas apenas quando o corpo é R {\displaystyle \mathbb {R} } e não C . {\displaystyle \mathbb {C} .} Esta seção apresenta duas provas do seguinte teorema: Desigualdade de Cauchy–Schwarz — Sejam u {\displaystyle \mathbf {u} } e v {\displaystyle \mathbf {v} } vetores arbitrários em um espaço com produto interno sobre o corpo escalar F , {\displaystyle \mathbb {F} ,} onde F {\displaystyle \mathbb {F} } é o corpo dos números reais R {\displaystyle \mathbb {R} } ou dos números complexos C . {\displaystyle \mathbb {C} .} Então com Caracterização da igualdade em Cauchy–Schwarz na Desigualdade de Cauchy–Schwarz se e somente se u {\displaystyle \mathbf {u} } e v {\displaystyle \mathbf {v} } são linearmente dependentes.
Prova via projeção ortogonal
O caso especial de v = 0 {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} } foi provado acima, portanto assume-se doravante que v ≠ 0 . {\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} .} Seja z := u − ⟨ u , v ⟩ ⟨ v , v ⟩ v . {\displaystyle \mathbf {z} :=\mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} .} Se olharmos para o seu comprimento, veremos ‖ z ‖ 2 = ⟨ u − ⟨ u , v ⟩ ⟨ v , v ⟩ v , u − ⟨ u , v ⟩ ⟨ v , v ⟩ v ⟩ = ⟨ u , u ⟩ − ⟨ u , v ⟩ ⟨ v , v ⟩ ⟨ u , v ⟩ − ⟨ u , v ⟩ ⟨ v , v ⟩ ⟨ v , u ⟩ + ⟨ u , v ⟩ 2 ⟨ v , v ⟩ 2 ⟨ v , v ⟩ = ⟨ u , u ⟩ − | ⟨ u , v ⟩ | 2 ⟨ v , v ⟩ = ‖ u ‖ 2 − | ⟨ u , v ⟩ | 2 ‖ v ‖ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\|\mathbf {z} \|^{2}&=\left\langle \mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} ,\mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} \right\rangle \\&=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}}{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}}}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle -{\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}=\|\mathbf {u} \|^{2}-{\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\end{aligned}}} Como o comprimento de qualquer vetor é sempre não negativo, obtemos ‖ u ‖ 2 − | ⟨ u , v ⟩ | 2 ‖ v ‖ 2 = ‖ z ‖ 2 ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\|\mathbf {u} \|^{2}-{\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}=\|\mathbf {z} \|^{2}\geq 0\end{aligned}}} A desigualdade de Cauchy–Schwarz segue multiplicando por ‖ v ‖ 2 {\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}} e então tirando a raiz quadrada. Além disso, se a relação ≥ {\displaystyle \geq } na expressão acima é na verdade uma igualdade, então ‖ z ‖ 2 = 0 {\displaystyle \|\mathbf {z} \|^{2}=0} e portanto z = 0 ; {\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {0} ;} a definição de z {\displaystyle \mathbf {z} } então estabelece uma relação de dependência linear entre u {\displaystyle \mathbf {u} } e v . {\displaystyle \mathbf {v} .} A recíproca foi provada no início desta seção, portanto a prova está completa. ◼ {\displaystyle \blacksquare }
Prova analisando um quadrático
Considere um par arbitrário de vetores u , v {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} } . Defina a função p : R → R {\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } definida por p ( t ) = ⟨ t α u + v , t α u + v ⟩ {\displaystyle p(t)=\langle t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle } , onde α {\displaystyle \alpha } é um número complexo satisfazendo | α | = 1 {\displaystyle |\alpha |=1} e α ⟨ u , v ⟩ = | ⟨ u , v ⟩ | {\displaystyle \alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |} . Tal α {\displaystyle \alpha } existe pois se ⟨ u , v ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0} então α {\displaystyle \alpha } pode ser tomado como 1.
Existem várias generalizações da desigualdade de Cauchy–Schwarz. A desigualdade de Hölder a generaliza para normas L p {\displaystyle L^{p}} . Mais geralmente, pode ser interpretada como um caso especial da definição da norma de um operador linear em um espaço de Banach (nomeadamente, quando o espaço é um espaço de Hilbert). Generalizações adicionais estão no contexto da teoria de operadores, por exemplo, para funções convexas de operadores e álgebras de operadores, onde o domínio e/ou a imagem são substituídos por uma C*-álgebra ou W*-álgebra. Um produto interno pode ser usado para definir um funcional linear positivo. Por exemplo, dado um espaço de Hilbert L 2 ( m ) , m {\displaystyle L^{2}(m),m} sendo uma medida finita, o produto interno padrão dá origem a um funcional positivo φ {\displaystyle \varphi } por φ ( g ) = ⟨ g , 1 ⟩ . {\displaystyle \varphi (g)=\langle g,1\rangle .} Reciprocamente, todo funcional linear positivo φ {\displaystyle \varphi } em L 2 ( m ) {\displaystyle L^{2}(m)} pode ser usado para definir um produto interno ⟨ f , g ⟩ φ := φ ( g ∗ f ) , {\displaystyle \langle f,g\rangle _{\varphi }:=\varphi \left(g^{*}f\right),} onde g ∗ {\displaystyle g^{*}} é o conjugado complexo pontual de g . {\displaystyle g.} Nesta linguagem, a desigualdade de Cauchy–Schwarz se torna | φ ( g ∗ f ) | 2 ≤ φ ( f ∗ f ) φ ( g ∗ g ) , {\displaystyle {\bigl |}\varphi (g^{*}f){\bigr |}^{2}\leq \varphi \left(f^{*}f\right)\varphi \left(g^{*}g\right),}
